Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Монотонность: f(x) ∨ g(x), f(x)↑, g(x)↓» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 √ ------ 2 a-- x − 1 + 5x − 9x + 3a + 8 = x

имеет ровно одно решение.

Рассмотрим семейства функций $√ ------ 2 fa(x) = x − 1 + 5x2 − 9x + 3a + 8, ga(x) = a-- x$ .

ОДЗ уравнения: $x ≥ 1$ . При этих $x$ :

Функция $√------ y1 = x − 1$ является строго возрастающей. Графиком функции $y2 = 5x2 − 9x$ является парабола, вершина которой находится в точке $-9- x = 10$ . Следовательно, при всех $x ≥ 1$ функция $y2$ также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то $f (x ) a$ – строго возрастает (константа $3a + 8$ не влияет на монотонность функции).

Функция $2 g (x ) = a-- a x$ при всех $x ≥ 1$ представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

Решить уравнение $fa(x ) = ga(x )$ — значит найти точки пересечения функций $f$ и $g$ . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

При $x ≥ 1$ $fa(x ) ≥ 3a + 4, 0 < ga(x) ≤ a2$ . Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:

$PIC$

2 3a + 4 ≤ a ⇒ a ∈ (− ∞; − 1] ∪ [4;+ ∞ )