Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых хотя бы одно решение уравнения

sinx ⋅ cos x + 2cos x = a + 2 + 2sinx − 5x

принадлежит отрезку $[ π] 0; -- 2$ .

Перепишем уравнение в виде:

sinx ⋅ cos x + 2cos x − 2 − 2sinx + 5x = a

и рассмотрим функцию $f(x) = sinx ⋅ cos x + 2cosx − 2 − 2 sin x + 5x$ . Найдем ее производную:

f′(x) = 5 + cos2x − sin2x − 2 sin x − 2cos x = 5 + cos2x − 2 (sin x + cosx) = ( √ -- √ -- ) √-- 2 2 √ -- ( π ) = 5 + cos2x − 2 2 -2--sin x + -2--cosx = 5 + cos2x − 2 2 ⋅ sin x + 4

Т.к. $( π ) √ -- − 1 ≤ cos 2x ≤ 1, − 1 ≤ sin x + -- ≤ 1 ⇒ f′(x) ≥ 4 − 2 2 > 0 4 » class=»math» width=»auto»> при всех значениях <img decoding=$ .

Следовательно, $f (x )$ – строго возрастающая функция. Значит, уравнение $f (x ) = a$ может иметь не более одного решения при всех значениях $a$ . Для того, чтобы $x 0$ являлось решением уравнения, нужно, чтобы $a = f (x0)$ .

Т.к. функция $f(x )$ – строго возрастает, то если $x0$ пробегает отрезок $[ π] 0; -- 2$ , то множеством значений функции $f (x )$ является отрезок $[ (π )] f(0);f -- 2$ .

Таким образом, так как $f (x) = a$ , то $[ (π )] a ∈ f(0);f 2-$ , следовательно, $[ ] 5π a ∈ 0; 2--− 4$ .