Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2x3 − 3x (ax + x − a2 − 1) − 3a − a3 = 0

имеет хотя бы один корень из отрезка $[− 1;0 ]$ .

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x3 − 3x(ax + x − a2 − 1 ) − 3a − a3$ при некотором фиксированном $a$ . Найдем ее производную: $f′(x ) = 6x2 − 6ax − 6x + 3a2 + 3 = 3(x2 − 2ax + a2 + x2 − 2x + 1) = 3((x − a )2 + (x − 1)2)$ .

Заметим, что $′ f (x) ≥ 0$ при всех значениях $x$ и $a$ , причем равна $0$ только при $x = a = 1$ . Но при $a = 1$ :
$f ′(x) = 6(x − 1)2 ⇒ f(x) = 2(x − 1)3 ⇒$ уравнение $2(x − 1)3 = 0$ имеет единственный корень $x = 1$ , не удовлетворяющий условию. Следовательно, $a$ не может быть равно $1$ .

Значит, при всех $a ⁄= 1$ функция $f (x )$ является строго возрастающей, следовательно, уравнение $f (x) = 0$ может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график $f (x )$ при некотором фиксированном $a$ будет выглядеть следующим образом:

$PIC$

Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка $[− 1;0]$ , необходимо:

{ { { f (0) ≥ 0 a (a2 + 3) ≤ 0 a ≤ 0 ⇒ ⇒ ⇒ − 2 ≤ a ≤ 0 f (− 1 ) ≤ 0 (a + 2)(a2 + a + 4) ≥ 0 a ≥ − 2

Таким образом, $a ∈ [− 2;0]$ .