Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Монотонность: f(t) = f(z)» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

5((ax − 2)3− (x2 − 2)3+ 3eax − 3ex2) = = 6ex2 ⋅ sin 2x2− 6eax⋅ sin 2ax + 3ex2 ⋅ cos2x2 − 3eax⋅ cos 2ax

имеет как минимум $2$ решения.

Перенесем все слагаемые, содержащие $ax$ , влево, а содержащие $x2$ – вправо, и рассмотрим функцию

3 t t t f(t) = 5 (t − 2) + 15e + 6e ⋅ sin 2t + 3e ⋅ cos 2t

Тогда исходное уравнение примет вид:

f(ax ) = f(x2)

Найдем производную:

′ 2 t f (t) = 15 (t − 2) + 15e ⋅ (1 + cos2t)

Т.к. $2 t (t − 2) ≥ 0, e > 0, 1 + cos2t ≥ 0 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=$ при любых $t ∈ ℝ$ .

Причем $f′(t) = 0$ , если $(t − 2)2 = 0$ и $1 + cos2t = 0$ одновременно, что не выполняется ни при каких $t$ . Следовательно, $f′(t) > 0 » class=»math» width=»auto»> при любых <img decoding=$ .

Таким образом, функция $f (t)$ строго возрастает при всех $t ∈ ℝ$ .

Значит, уравнение $f (ax ) = f(x2)$ равносильно уравнению $ax = x2$ .

Уравнение $x2 − ax = 0$ при $a = 0$ имеет один корень $x = 0$ , а при $a ⁄= 0$ имеет два различных корня $x1 = 0$ и $x2 = a$ .
Нам нужно найти значения $a$ , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что $a > 0 » class=»math» width=»auto»>.<br class=$ Следовательно, ответ: $a ∈ (0;+∞ )$ .