Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Монотонность: f(t) = f(z)» №3

Просмотров 20 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

6 3 2 27x + (a− x) +3x =x − a

имеет ровно два корня.

Перепишем уравнение в виде

2 3 2 3 (3x) + 3x = (x− a) +(x− a)

Рассмотрим функцию $f(t)= t3 +t.$ Тогда уравнение перепишется в виде

f(3x2)= f(x− a)

Исследуем функцию $f(t).$ Для этого найдем ее производную:

Следовательно, функция возрастает при всех Значит, каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: