Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Монотонность: f(t) = f(z)» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

ax2−2x x2−1 7∘------- ∘7----- 7 − 7 = 2x − ax2 − 1− x2

имеет два корня.

Сделаем замену: $ax2− 2x =t,$ $x2− 1 =u.$ Тогда уравнение примет вид

t u √ --- √ --- t √7- u √-- 7 − 7 = 7−t− 7−u ⇔ 7 + t= 7 + 7u

Рассмотрим функцию $f(w) =7w + 7√w.$ Тогда наше уравнение примет вид

f (t)= f(u)

Найдем производную функции $f(w ):$

f′(w) =7w ln 7+ --17√---- 7⋅ w6

Заметим, что при всех $w ⁄= 0$ производная f′(w)> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-804-9.svg» width=»auto»> так как <img alt= 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-804-10.svg» width=»auto»> $w6 > 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-804-11.svg» width=»auto»> Заметим также, что сама функция <img decoding=$ определена при всех $w.$ Так как к тому же $f(w)$ непрерывна, то мы можем сделать вывод, что $f(w)$ возрастает на всем $ℝ.$