Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Метод оценки» №2

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

|a2 + 3 − x| + |x − a − 2| + |x − 3a − 1| = a2 − a + 1

имеет не менее одного решения.

Перепишем уравнение в виде:

|a2 + 3 − x| + |x − a − 2| = a2 − a + 1 − |x − 3a − 1 | (∗)

Так как $|v| + |u | ≥ |v + u|$ , то

2 2 2 |a + 3 − x| + |x − a − 2| ≥ |a + 3 − x + x − a − 2| = |a − a + 1|

Заметим, что дискриминант $2 a − a + 1 = 0$ отрицателен, следовательно, $2 a − a + 1 > 0 » class=»math» width=»auto»> для любого <img decoding=$ . Следовательно,

2 2 |a + 3 − x| + |x − a − 2| ≥ a − a + 1

Так как $|z| ≥ 0$ при любом $z$ , то

a2 − a + 1 − |x − 3a − 1| ≤ a2 − a + 1

Следовательно, мы получили, что левая часть уравнения $(∗)$ всегда $≥ a2 − a + 1$ , а правая часть всегда $≤ a2 − a + 1$ . Таким образом, равенство может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны $2 a − a + 1$ .
Для того, чтобы выполнялось $|v | + |u| = |v + u|$ , нужно: $v ≥ 0,u ≥ 0$ или $v ≤ 0,u ≤ 0$ . Для того, чтобы правая часть была равна $a2 − a + 1$ , нужно, чтобы $|x − 3a − 1| = 0$ . Следовательно:

⌊ ( 2 ⌊ ( 2 | |{ a + 3 − x ≥ 0 | |{ x ≤ a + 3 | x − a − 2 ≥ 0 | x ≥ a + 2 || |( || |( || x − 3a − 1 = 0 || x = 3a + 1 | ( 2 ⇔ | ( 2 || |{ a + 3 − x ≤ 0 || |{ x ≥ a + 3 |⌈ x − a − 2 ≤ 0 |⌈ x ≤ a + 2 |( |( x − 3a − 1 = 0 x = 3a + 1

Заметим, что каждая система может иметь не более одного корня. Следовательно, вся совокупность может иметь не более двух корней.
Найдем значения $a$ , при которых первая система имеет решения. Значит нужно, чтобы корень $x = 3a + 1$ удовлетворял обоим неравенствам в этой системе. Следовательно:

{ [ ] 3a + 1 ≤ a2 + 3 1 ⇔ a ∈ -;1 ∪ [2;+ ∞ ) 3a + 1 ≥ a + 2 2

Аналогично, вторая система будет иметь решения, если

{ 3a + 1 ≥ a2 + 3 ⇔ a ∈ ∅ 3a + 1 ≤ a + 2

Следовательно, вторая система ни при каких $a$ не будет иметь решений.
Значит, вся совокупность имеет не более одного корня. Нам нужно, чтобы она имела не менее одного корня, то есть подходящий случай – когда совокупность имеет один корень. Это выполняется при

[ ] a ∈ 1-;1 ∪ [2;+ ∞ ) 2