Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Метод главного модуля/слагаемого» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x4+ 12|x− 2|+ 9= 7x3+ x2+ 7|x − 11a| 3

имеет более одного корня.

Перепишем уравнение в другом виде:

4 7- 3 2 x − 3 x − x + 9 = 7|x − 11a | − 12 |x − 2|

Пусть $f(x ) = x4 − 7x3 − x2 + 9, g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2| 3$

Изобразим графики обеих функций:

1) $f(x) = x4 − 7-x3 − x2 + 9 = ⇒ f ′(x) = 4x3 − 7x2 − 2x 3$

⌊ x = − 1- ′ || 4 f (x) = 0 ⇒ ⌈x = 0 x = 2

$1 x = − -- 4$ и $x = 2$ – точки минимума, $x = 0$ – точка максимума.

Причем $( ) 1- 6895- 7- f − 4 = 768 > f(2) = 3 » class=»math» width=»auto»> </p> <p class=$

2) $g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2|$

Рассмотрим два случая:
2.1) $x ≥ 2$ . Тогда $|x − 2| = x − 2$ . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль $|x − 11a|$ , $g(x)$ – линейная функция, коэффициент перед $x$ у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен $− 19$ или $− 5$ ). Т.е. $g(x)$ всегда убывает при $x ≥ 2$ .

2.2) $x < 2$ . Тогда $|x − 2| = − (x − 2)$ . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль $|x − 11a|$ , $g(x)$ – линейная функция, коэффициент перед $x$ у которой будет положительным (в точности, он будет равен $19$ или $5$ ). Т.е. $g(x)$ всегда возрастает при $x < 2$ .