Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Метод главного модуля/слагаемого» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

|x − a2 − 3a | + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a| = 5a

имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим две функции: $f(x) = |x − a2 − 3a| + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a |$ и $g(x) = 5a$ .
Заметим, что $f(x) ≥ 0$ при всех $x$ и $a$ (как сумма модулей). Следовательно, для того, чтобы графики функции имели точки пересечения, нужно, чтобы $5a ≥ 0$ , то есть $a ≥ 0$ .

Заметим, что если третий модуль раскроется с плюсом, то, вне зависимости от того, как раскроются первые два модуля, слева будет стоять либо возрастающая функция ( $f(x) = kx + y(a)$ , $k > 0 » class=»math» width=»auto»>, причем <img decoding=$ будет равно либо 4, либо 2), либо константа (когда $k = 0$ ).
Если третий модуль раскроется с минусом, то, также вне зависимости от того, как раскроются первые два модуля, слева будет убывающая функция ( $f (x ) = kx + y(a)$ , $k < 0$ , причем $k$ будет равно либо $− 4$ , либо $− 2$ ) или константа (когда $k = 0$ ).
При $x ≤ (a2 + a) : 2$ третий модуль раскроется с минусом, при $x > (a2 + a) : 2 » class=»math» width=»auto»> – с плюсом.<br class=$ Заметим, что так как $a ≥ 0$ , то $(a2 + a ) : 2 ≥ 0$ .
Значит, функция $f(x) = |x − a2 − 3a| + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a|$ будет либо константой (ее график будет параллелен оси абсцисс), либо ее график будет иметь один из трех видов:
$PIC$

Графиком функции $g(x) = 5a$ при каждом фиксированном $a$ будет прямая, параллельная оси абсцисс. Следовательно, для того, чтобы графики $f$ и $g$ имели хотя бы одну точку пересечения, нужно, чтобы график $g$ находился не ниже вершины $( 2 ( 2 )) a-+2a;f a+2a-$ графика $f$ :
$PIC$

( 2 ) 5a ≥ f a--+-a- ⇒ 10a ≥ |a2 + 5a | + |a2 − 5a| 2

Так как $a ≥ 0$ , то $2 a + 5a ≥ 0$ , следовательно, неравенство равносильно:

⌊ { 0 ≤ a ≤ 5 || a2 + 5a − a2 + 5a ≤ 10a || { ⇔ 0 ≤ a ≤ 5 | a > 5 ⌈ a2 + 5a + a2 − 5a ≤ 10a » class=»math-display» width=»auto»></center> </div> </p> </div><!-- .entry-content --> </article> <div class=