Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Метод главного модуля/слагаемого» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

a2 + 13|x| + 2x2+2 = 20a + 2|5x + 12a|

имеет хотя бы один корень.

Перепишем уравнение в виде

13|x| − 2|5x + 12a| = 20a − a2 − 2x2+2

и рассмотрим две функции: $2 g(x) = 20a − a2 − 2x +2$ и $f(x ) = 13|x | − 2|5x + 12a|$ .
Функция $g(x )$ имеет точку максимума $x = 0$ (причем $gверш = g(0) = − a2 + 20a − 4$ ):
$g′(x) = − 2x2+2 ⋅ ln 2 ⋅ 2x$ . Ноль производной: $x = 0$ . При $x < 0$ имеем: $g′ > 0 » class=»math» width=»auto»>, при <img decoding=$ .
Функция $f (x )$ при $x > 0 » class=»math» width=»auto»> является возрастающей, а при <img decoding=$ – убывающей, следовательно, $x = 0$ – точка минимума.
Действительно, при $x > 0 » class=»math» width=»auto»> первый модуль раскроется положительно (<img decoding=$ ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, $f(x)$ будет равно $kx + A$ , где $A$ – выражение от $a$ , а $k$ равно либо $13 − 10 = 3$ , либо $13 + 10 = 23$ . При $x < 0$ наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x) = kx + A$ , где $k$ равно либо $− 3$ , либо $− 23$ .
Найдем значение $f$ в точке минимума:

fверш = f(0) = − 24|a|

$PIC$

Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций $f$ и $g$ имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно:

⌊ { a ≥ 0 || a2 − 44a + 4 ≤ 0 f(0) ≤ g(0) ⇒ a2 − 20a + 4 ≤ 24|a | ⇔ | { |⌈ a < 0 2 a + 4a + 4 ≤ 0

Решая данную совокупность систем, получим ответ:

a ∈ {− 2} ∪ [22 − 4√30;-22 + 4√30-]