Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Исследование функции на возрастание/убывание» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Пусть $x$ – решение неравенства

log (sin (πax) + cos(πax )) ≥ 1- 2 2

Для каждого целого значения параметра $a ⁄= 0$ найдите максимальное значение функции $f (x ) = x(2 − x)$ .

Сделаем замену для удобства: $πax = t$ . Тогда неравенство примет вид:

√ -- √ -- ( ) √ -- log (sint + cost) ≥ 1- ⇔ sin t + cos t ≥ 2 ⇔ 2sin t + π ≥ 2 ⇔ 2 2 4 ( ) ( ) sin t + π- ≥ 1 ⇔ sin t + π = 1 ⇔ t + π-= π-+ 2 πn,n ∈ ℤ ⇔ t = π-+ 2πn, n ∈ ℤ 4 4 4 2 4

Сделав обратную замену и учитывая, что $a ⁄= 0$ , получим:

1 (1 ) x = -- --+ 2n ,n ∈ ℤ a 4

Преобразуем функцию, максимальное значение которой нужно найти:

f(x) = − x2 + 2x − 1 + 1 = − (x − 1)2 + 1

Таким образом, функция примет вид:

( ( ) ) ( ) 1 1 2 4 1 a 2 f(n ) = − -- --+ 2n − 1 + 1 = − -2- n + --− -- + 1 a 4 a 8 2

Таким образом, графиком функции при каждом фиксированном значении $a$ является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина параболы находится в точке $a 1 n0 = 2 − 8$ :

$PIC$

Рассмотрим параболу только при целых $n$ (так как, вообще говоря, $n$ – целое). $a 1 n0 = 2 − 8$ ни при каких целых $a$ не будет являться целым числом. Следовательно, наибольшее значение функция принимает точно не в вершине.

Рассмотрим два случая:

1) $a = 2k,k ∈ ℤ∖ {0}$ .

Тогда $1- n0 = k − 8$ . Следовательно, парабола выглядит так:

$PIC$

Заметим, что так как парабола симметрична относительно прямой $1 n = k − 8$ , то чем ближе число $n$ расположено к $k − 18$ , тем больше будет значение функции $f$ в нем. Следовательно, максимальное значение функция $f(n)$ будет принимать либо при $n = k − 1$ , либо при $n = k$ . Заметим, что $k$ находится ближе к $k − 1 8$ , чем $k − 1$ . Таким образом:

( a) 1 fmax = f(k ) = f -- = 1 − ---2- 2 16a

2) $a = 2k + 1,k ∈ ℤ$ .

Тогда $3 n0 = k + -- 8$ . Следовательно, парабола выглядит так:

$PIC$

Аналогично, максимальное значение функция $f(n)$ будет принимать либо при $n = k + 1$ , либо при $n = k$ . Заметим, что $k$ находится ближе к $k + 3 8$ , чем $k + 1$ . Таким образом:

( ) a-−-1- --9-- fmax = f(k) = f 2 = 1 − 16a2