Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Исследование функции на возрастание/убывание» №1

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

4cos x − atg2x = 3 + a

имеет на отрезке $[0;π ]$ ровно один корень.

(Задача от подписчиков)

С помощью формулы $1 1 + tg2x = ------ cos2x$ уравнение перепишется в виде

4cosx − --a---− 3 = 0 cos2x

Заметим, что если уравнение относительно $x$ имеет ровно один корень $x 1$ на $[0; π]$ , то уравнение относительно $cosx$ имеет также ровно один корень $t1 = cosx1$ на отрезке $[− 1;1]$ . Таким образом, рассмотрим функцию

a f(t) = 4t − -2 − 3 t

и найдем значения $a$ , при которых график функции пересекает отрезок $[− 1;1]$ оси абсцисс ровно в одной точке.
Найдем производную:

′ 2a- f (t) = 4 + t3

Производная равна нулю в точке:

∘ -- t0 = − 3 a- 2

Таким образом, область определения производной разбивается точками $t0$ и $0$ на три промежутка, в каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака.
Заметим, что при $a > 0 » class=»math» width=»auto»> <img decoding=$ , при $a = 0$ $t0 = 0$ и при $a < 0$ $t0 > 0 » class=»math» width=»auto»>. В зависимости от расположения <img decoding=$ относительно $0$ у нас будут получаться разные промежутки. Поэтому рассмотрим эти три случая по отдельности.

1) $a > 0 ⇒ t0 < 0$ . Тогда знаки производной будут такими:

$PIC$

Заметим также, что $f(t0) < 0$ при $a > 0 » class=»math» width=»auto»>. Действительно, </p> <p> <center class=$ $1 √ -- √ -- f(t0) = 3√---⋅ ( − 6 ⋅ 3a − 3 32) < 0 2$ Таким образом, график функции $f (t)$ в этом случае выглядит схематично так:

$PIC$

Таким образом, левая часть графика не пересекает ось абсцисс. Следовательно, для того, чтобы функция пересекала отрезок $[− 1;1]$ ровно в одной точке, нужно, чтобы правая часть графика пересекала ось абсцисс и эта точка была не правее 1. Это значит, что должно быть выполнено:

f(1) ≥ 0 ⇒ 4 − a − 3 ≥ 0 ⇒ a ≤ 1

Пересекая эти значения $a$ с условием $a > 0 » class=»math» width=»auto»>, получаем ответ <img decoding=$ .

2) $a = 0$ . Тогда функция принимает вид

f(t) = 4t − 3

Функция пересекает ось абсцисс в точке $t = 3-∈ [− 1;1] 4$ , следовательно, $a = 0$ нам подходит.

3) $a < 0 ⇒ t0 > 0 » class=»math» width=»auto»>. Тогда знаки производной будут такими:<br class=$
$PIC$

Заметим, что в этом случае однозначно не определяется значение $f(t0)$ . Поэтому рассмотрим по отдельности каждый случай.

3.1) $f(t0) < 0$ . Тогда

1 √3-- √3-- 1 3√---⋅ ( − 6 ⋅ a − 3 2) < 0 ⇒ a > − 4. 2 » class=»math-display» width=»auto»></center> Таким образом, график функции <img decoding=

Следовательно, график будет пересекать отрезок $[− 1;1 ]$ оси абсцисс хотя бы в одной точке (красная точка). Следовательно, нам нужно, чтобы больше не было точек пересечения с $[− 1;1]$ . Это значит, что

{ { f(− 1) > 0 − 4 − a − 3 > 0 f(1) < 0 ⇒ 4 − a − 3 < 0 ⇒ a ∈ ∅.

Таким образом, этот случай невозможен.

3.2) $1 f(t0) = 0 ⇒ a = − 4$ . График функции $f(t)$ в этом случае выглядит схематично так:

$PIC$

Заметим, что при $1 a = − 4$

∘ -- t = − 3 a-= 1- 0 2 2

Следовательно, чтобы больше не было корней на $[− 1;1]$ , нужно:

f(− 1) > 0 ⇒ − 4 − a − 3 > 0 ⇒ a < − 7

Пересекая полученные значения с $a = − 1 4$ , получаем $a ∈ ∅$ . Таким образом, этот случай невозможен.

3.3) $f(t0) > 0 ⇒ a < − 1- 4$ . График функции $f (t)$ в этом случае выглядит схематично так:

$PIC$

Следовательно, нужно:

f(− 1) ≤ 0 ⇒ − 4 − a − 3 ≤ 0 ⇒ a ≥ − 7

Пересекая эти значения с $a < − 14$ , получим $− 7 ≤ a < − 14.$

Теперь вспомним, что все случаи 3.1, 3.2 и 3.3 мы рассматривали при $a < 0$ . Следовательно, ответ для 3 случая: $1 − 7 ≤ a < − 4.$
Тогда окончательный ответ в задаче:

a ∈ [− 7;− 0,25) ∪ [0; 1]