Задача к ЕГЭ на тему «Формулы сокращенного умножения» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Делится ли число $(2016!)3+ 1$ на $(2016!+ 1)2?$

3 2 a + 1 = (a+ 1)(a − a+ 1)

Значит, при $a = 2016!$ имеет место формула

(2016!)3 + 1 = (2016!+ 1)((2016!)2 − 2016!+ 1)

Для того, чтобы произведение в правой части делилось на $(2016!+ 1)2,$ необходимо и достаточно выполнения условия

((2016!)2 + 2− 2016!− 1) ... (2016!+ 1),

что равносильно $((2016!)2 + 2)...(2016!+ 1),$ но $(2016!)2 − 1 = (2016!+ 1)(2016!− 1)$ – делится на $(2016!+ 1),$ следовательно, $(2016!)2 + 2 = ((2016!)2 − 1)+ 3$ не делится на $(2016!+ 1)$ (так как $3$ не делится на $(2016!+ 1)$ ), а тогда и $(2016!)3 + 1$ не делится на $(2016!+ 1)2.$