Задача к ЕГЭ на тему «Формулы сокращенного умножения» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

Разложите многочлен $x4+ 64$ в произведение многочленов меньших степеней.

Всякий многочлен четвёртой степени можно разложить в произведение двух многочленов второй степени. Попробуем найти требуемое разложение в виде

4 2 2 4 3 2 x + 64 = (x + ax ± 8)(x +bx ± 8) = x + 64+ (a +b)x + (±16 + ab)x ± 8(a + b)x

Значит, получаем систему уравнений:

( |{ a+ b = 0 ±16 + ab = 0 |( ±8(a +b) = 0

Следовательно, $b = − a$ и $2 ± 16− a = 0.$

Таким образом, вместо $±$ всюду надо выбрать верхний знак, далее можно положить $a = 4,$ $b = − 4.$

В итоге получаем верное разложение

2 2 2 x + 64 = (x + 4x + 8)(x − 4x + 8)