Задача к ЕГЭ на тему «Делимость чисел и признаки делимости» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Докажите, что $( )( ) n n2− 4 n2− 1$ делится на 120 при любом $n ∈ℤ.$

Преобразуем выражение:

n(n2− 4)(n2− 1)= = n(n − 2)(n+ 2)(n − 1)(n+ 1)= =(n − 2)(n− 1)n(n +1)(n+ 2).

Мы получили произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых последовательных 5 целых чисел всегда есть число, которое делится на 3, есть число, которое делится на 5, а также всегда есть два последовательных чётных числа.

Таким образом, при любом $n∈ ℤ$ число $( )( ) n n2− 4 n2− 1$ делится на 3, делится на 5, делится на 8, следовательно, оно делится и на 120.