Задача к ЕГЭ на тему «Числовые иррациональные выражения» №26

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите значение выражения

∘ -------------------- ∘ -------------------- ∘ --------------------- ∘ ----√--- ∘ ----∘-----√--- ∘ ----∘-----√--- ∘ ----∘--------- ∘ ----∘--------- 2 + 3 ⋅ 2 + 2 + 3⋅ 2 + 2 + 2 + 3 ⋅...⋅ 2 + 2 + 2 + √...⋅ 2 − 2 + 2 + √... ◟---------◝◜---------◞ ◟---------◝◜---------◞ n корней n корней

Рассмотрим последние два множителя. Пусть $∘ ----∘--------------- ∘ ----√--- 2 + 2 + 2 + ...= t ◟---------◝◜---------◞ n− 1 корней$ , тогда произведение последних двух множителей равно:

√ ----- √----- √ ------ 2 + t ⋅ 2 − t = 4 − t2

Так как $∘ --------------- 2 ∘ √-- t = 2 + 2 + 2 + ... ◟------◝◜------◞ n−2 корня$ , то

┌│ ----∘---------------- ∘ ----∘---------------- √ ----2- │ ∘ ----√--- ∘ ----√--- 4 − t = │∘ 2 − 2 + 2 + ...= 2 − 2 + 2 + ... ◟------◝◜------◞ ◟---------◝◜---------◞ n−2 корня n−1 корней

Заметим, что третий с конца множитель имеет вид

∘ -------------------- ∘ ----∘--------- 2 + 2 + 2 + √... ---------- ---------- ◟ n−1◝ к◜орней ◞

Следовательно, аналогично

∘ -------------------- ∘ --------------------- ∘ --------------------- ∘ ----∘--------- ∘ ---∘---------- ∘ ----∘--------- 2 + 2 + 2 + √...⋅ 2 − 2 + 2 + √...= 2 − 2 + 2 + √... ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ◟ n−1◝к◜орней ◞ ◟ n−1◝◜корней ◞ ◟ n− ◝2◜ корня ◞

Таким образом, проделывая аналогичные шаги с конца, дойдем до того, что выражение примет вид:

∘ ------- ∘ ----∘---------∘ ----∘--------- ∘ ------- ∘ ------- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ ------ 2 + 3 ⋅ 2 + 2 + 3 ⋅ 2 − 2 + 3 = 2 + 3 ⋅ 2 − 3 = 4 − 3 = 1.

Числовые иррациональные выражения