Задача к ЕГЭ на тему «Четность как частный случай симметрии» №2

Просмотров 7 Комментарии 0

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2x2 + atg(cosx) + a2 = 0

имеет единственное решение?

Заметим, что так как $x2$ и $cosx$ — четные функции, то если уравнение будет иметь корень $x0$ , оно также будет иметь и корень $− x0$ .
Действительно, пусть $x0$ – корень, то есть равенство $2x2+ atg(cosx0) + a2 = 0 0$ верно. Подставим $− x0$ : $2 2 2 2 2(− x0) + atg(cos(− x0)) + a = 2x0 + atg(cos x0) + a = 0$ .

Таким образом, если $x0 ⁄= 0$ , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, $x0 = 0$ . Тогда:

[ 2 ⋅ 0 + atg(cos 0) + a2 = 0 ⇒ a2 + atg1 = 0 ⇒ a = 0 a = − tg1

Мы получили два значения параметра $a$ . Заметим, что мы использовали то, что $x = 0$ точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра $a$ в исходное уравнение и проверить, при каких именно $a$ корень $x = 0$ действительно будет единственным.

1) Если $a = 0$ , то уравнение примет вид $2x2 = 0$ . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень $x = 0$ . Следовательно, значение $a = 0$ нам подходит.

2) Если $a = − tg1$ , то уравнение примет вид

2x2 − tg1 ⋅ tg(cosx) + tg21 = 0

Перепишем уравнение в виде

2x2 + tg21 = tg1 ⋅ tg(cosx ) (∗)

Так как $− 1 ≤ cosx ≤ 1$ , то $− tg1 ≤ tg(cosx ) ≤ tg1$ . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку $2 2 [− tg 1;tg 1]$ .

Так как $x2 ≥ 0$ , то левая часть уравнения (*) больше или равна $0 + tg21$ .

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны $2 tg 1$ . А это значит, что

{ 2 2 2 { 2x + tg 1 = tg 1 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 tg1 ⋅ tg(cosx ) = tg21 tg(cosx ) = tg1

Следовательно, значение $a = − tg1$ нам подходит.