Задача к ЕГЭ на тему «Буквенные тригонометрические выражения» №25

Просмотров 8 Комментарии 0

Найдите значение выражения $3ctg2α,$ если $sinα = −√3--, 10$ $π < α < 3π. 2$

По формуле для котангенса и по формулам косинуса и синуса двойного угла имеем:

cos2α 1 − 2 ⋅sin2α ctg2α= sin2α = 2⋅sinα-⋅cosα-.

Так как угол $α$ расположен в третьей четверти, то косинус этого угла отрицательный:

∘ ------------ ∘ -----2-- ( 3 )2 cosα = − 1− sin α =− 1− − √10- = ∘ ------ ∘ --- = − 1 − 9-= − -1 = −√1--. 10 10 10

После подстановки в исходное выражение получим

( )2 1− 2⋅sin2α 1− 2⋅ − √310 3⋅2-⋅sinα⋅cosα = 3⋅--(---3-)-(--1-)-= 2⋅ − √10 ⋅ − √10- 18 8- ( ) = 3⋅ 1−610 = 3⋅ −610-= 3⋅ − 8 = −4. 10 10 6