Задача к ЕГЭ на тему «Буквенные тригонометрические выражения» №15

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите значение выражения

6 6 2 2 sin α + cos α +3 sin αcos α,

если $α = 30∘.$

Преобразуем данное выражение, используя сначала формулу суммы кубов $a3 +b3 = (a+ b)(a2− ab+ b2),$ а затем формулу квадрата суммы $a2+ 2ab+ b2 = (a + b)2 :$

(sin2α)3 +(cos2 α)3 +3 sin2αcos2α= (sin2α +cos2α)(sin4 α− sin2αcos2α+ cos4α)+ 3sin2αcos2α = 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 = sin α − sin αcos α+ cosα + 3sin α cos α = sin α+ 2sin α cosα + cos α = (sin α+ cos α) = 1.

Следовательно, при любом $α$ значение выражения равно $1.$