Задача к ЕГЭ на тему «Буквенные иррациональные выражения» №13

Просмотров 8 Комментарии 0

Упростить выражение

∘ ---------√----- ∘ ---------√----- 4x− 11− 4 x− 3+ 4x− 11+ 4 x − 3

и вычислить его значение при $x= 3,09.$

(Задача от подписчиков.)

Обозначим $√----- 4x− 11= u,4 x− 3 =v.$

Заметим, что если $a$ и $b$ – неотрицательные числа, то верно равенство: $∘ ------- a +b = (a+ b)2.$ Значит:

$√----- √----- ∘-√-------√-----2 ∘ -------√-2---2------- √- ∘ ---√--2---2 u − v+ u+ v = ( u − v+ u +v) = u− v+ 2 u − v + u +v = 2⋅ u+ u − v.$

Т.к. $u2 = 16x2 − 88x +121, v2 =16x − 48,$ то $u2 − v2 = 16x2− 104x+ 169= (4x− 13)2.$ Значит:

$∘------------------ √2 ⋅∘u-+√u2-−-v2 = √2 ⋅ 4x − 11 +∘ (4x−-13)2 = √2-⋅∘4x-−-11+-|4x−-13|.$

Заметим, что при $x= 3,09 :$ $4x= 12,36 < 13,$ следовательно, $4x− 13< 0,$ следовательно, $|4x − 13|= −(4x− 13).$
Значит:

$√- ∘--------------- √ - √-------------- 2 ⋅ 4x − 11+ |4x− 13|= 2⋅ 4x − 11 − 4x +13 = 2.$