Задача к ЕГЭ на тему «Биссектриса и её свойства» №2

Просмотров 20 Комментарии 0

В прямоугольном треугольнике с катетами $7$ и $24$ проведены биссектрисы острых углов. Найдите длины этих биссектрис.

$PIC$

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB = 25$ . Так как биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то

CJ AC 7 ----= ----= --- JB AB 25

Следовательно, можно принять $CJ = 7x$ , $J B = 25x$ , где $x$ – некоторое число. Тогда $7x + 25x = BC = 24$ , откуда $x = 3 4$ . Тогда $CJ = 21 4$ и по теореме Пифагора

AJ = √AC2--+--CJ-2 = 35-= 8,75. 4

Аналогично для биссектрисы $BL$ :

AL-- AB-- 25- LC = CB = 24

Следовательно, $AL = 25k$ , $LC = 24k$ и $25k + 24k = AC = 7$ , следовательно, $k = 17$ . Отсюда $CL = 274$ . Тогда по теореме Пифагора

√ ------------ 120√ -- BL = CL2 + CB2 = ---- 2. 7

Биссектриса и её свойства