Задача к ЕГЭ на тему «Банковский вклад» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

В начале 2000 года некий обеспеченный человек сделал вклад в размере $151807041$ рубль под целое число $y$ процентов годовых. Причем в течение первых 10 лет снимать со счета он мог только такую сумму, чтобы размер вклада не становился меньше первоначального. Через месяц после этого ему срочно понадобился $251807041$ рубль, поэтому он вынужден был взять кредит под $11%$ годовых на 8 лет, который необходимо было выплачивать аннуитетными платежами. Найдите наименьшее число $y$ , чтобы суммы, которую он может снимать со счета на вкладе, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Рассмотрим вклад. Пусть $S = 151 807041$ руб. Тогда в первый год вклад увеличится на $0,01y ⋅ S$ . Это и есть максимальная сумма, которую человек может снять со своего счета. Следовательно, во второй год вклад увеличится как минимум на столько же.

Рассмотрим кредит. Обозначим $A = 251807 041$ руб. Составим таблицу, где $x$ – ежегодный платеж по кредиту.

|-------------|----------------------------|----------------------------------|-----------------------------| |Н омер год а | До лг д о начисл ения % | Д олг по сле начисл ения % | Дол г п о&#x0 |1 | A | 1,11A | 1,11A − x | |2------------|--------1,11A--−-x----------|---------1,11(1,11A-−--x)---------|---1,11(1,11A-−--x) −-x-=----| | | | | 2 | |-------------|----------------------------|----------------------------------|--=--1,11-A-−-x-(1,11 +-1)---| |...-----------|------------...-------------|----------------...----------------|-------------...--------------| |8 |1,117A − x (1,116 + ⋅⋅⋅ + 1)|1,11(1,117A − x(1,116 + ⋅⋅⋅ + 1 ))|1,118A − x(1,117 + ⋅⋅⋅ + 1) | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Так как в конце восьмого года долг должен быть выплачен, то

8 7 1,11 A − x(1,11 + ⋅⋅⋅ + 1) = 0 ⇔ 8 8 x = ----1,11-A-----= 1,11-A-⋅ (1,11-−-1)-= 1,117 + ⋅⋅⋅ + 1 1, 118 − 1 8 = ------------1,11-A-⋅-(1,-11 −-1)----------- = (1,114 + 1)(1,112 + 1)(1,11 + 1)(1,11 − 1) 8 = -------------1,11-A------------- (1,114 + 1)(1,112 + 1)(1,11 + 1)

Следовательно, нужно, чтобы

-----------1,118 ⋅-100---------- A- 0, 01y ⋅ S ≥ x ⇒ y ≥ (1,114 + 1)(1,112 + 1)(1,11 + 1) ⋅ S

Выполним умножение:
$2 4 2 1,11 = 1,2321; 1,11 = 1,2321 = 1, 51807041$ .
Следовательно, неравенство примет вид:

y ≥ 1,51807041--⋅ 1,51807041-⋅ 100 ⋅ 251-807-041 2,51807041 ⋅ 2,2321 ⋅ 2,11 151 807 041

Выполним сокращения, получаем:

y ≥ 151807-041- 211 ⋅ 22321

Разделим в столбик эту “некрасивую” дробь и получим

32 < 151807-041-< 33 211 ⋅ 22321

Следовательно, наименьшее целое $y = 33$ .

Банковский вклад