Задача к ЕГЭ на тему «Банковский вклад» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

В январе 2014 года Андрей сделал вклад в размере 6 640 000 рублей под $y$ процентов годовых. В феврале 2014 года он захотел купить квартиру стоимостью 9 млн рублей, но решил для этого взять кредит под 21% годовых на 15 лет, который необходимо выплачивать дифференцированными платежами. Найдите наименьшее число $y,$ чтобы процентов, начисляемых на вклад каждый год, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Заметим, что так как кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами, то из их определения следует, что первый платеж по кредиту будет наибольшим среди всех платежей.

Так как каждый платеж по такому кредиту состоит из двух частей: $115$ часть от 9 млн рублей плюс проценты, «набежавшие» на долг за текущий год, то первый платеж будет равен

1 15 ⋅9000+ 0,21 ⋅9000 тыс. рублей.

Рассмотрим вклад. В первый год на вклад «набегут» проценты в размере $0,01y ⋅6640$ тыс. рублей. Этой суммы должно хватить для того, чтобы сделать первый платеж. Следовательно,

0,01y⋅6640≥ -1 ⋅9000+ 0,21 ⋅9000 (∗) 15

Заметим, что таким образом, если он снимет в первый год со счета не более $0,01y ⋅6640$ тыс. рублей, то на счете у него останется как минимум 6640 тыс. рублей, то есть точно не меньше, чем было в начале первого года. Следовательно, «набежавших» во второй год процентов также хватит на то, чтобы сделать второй платеж, поскольку он меньше первого платежа. Такое же рассуждение относится и ко всем следующим годам.

Следовательно, нам важно, чтобы именно первых «набежавших» по вкладу процентов хватило на то, чтобы сделать первый платеж по кредиту:

y ≥ 83-⋅ 9000 ⇒ y ≥ 3000 = 37 1 3 6640 80 2

Следовательно, наименьшее подходящее $y$ равно 37,5.