Задача к ЕГЭ на тему «Банковский вклад» №4

Просмотров 7 Комментарии 0

Алексей решил внести некоторую сумму $A$ рублей в банк под целое число $y$ процентов годовых. Каждый год после начисления процентов он дополнительно вносит на счет сумму, равную половине от той, которая находилась на счете у Алексея в начале текущего года. Какая наименьшая процентная ставка $y$ должна быть у банка, чтобы к концу третьего года (после внесения третьей дополнительной суммы) сумма на счете была не менее $8A$ рублей?

Составим таблицу, обозначив за $t= 100+-y : 100$

|---|--Сумм-а на счете|---Сумма-на счете--|--------С-умма на-счете--------| |Год|-до-начисления-%--|-после начисления-%-|--------после-доп.-взноса--------| | | | | 1 | |-1-|--------A--------|-----(--tA---)-----|----(------tA)-+-2A(-------)----| | 2 | tA+ 1A | t tA + 1A | t tA + 1A + 1 tA + 1A | |---|---(-----2-)-----|---(-(-----2-)-----|-(--(-----2-)---2(-----2-))---| | 3 | t tA + 1A + | t t tA + 1A + |t t tA+ 1A + 1 tA+ 1 A + | | | ( 2 ) | ( 2 )) | ( ( 2 )2 ( 2 )) | | | + 1 tA + 1A | + 1 tA + 1A |+ 1 t tA + 1A + 1 tA+ 1A | ---------2------2----------2------2----------2--------2-----2------2------

По условию итоговая сумма на счете должна быть не менее $8A,$ следовательно,

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) t t tA + A- + 1 tA + 1A + 1 t tA + 1A + 1 tA + 1A ≥ 8A 2 2 2 2 2 2 2

Преобразовав левую часть неравенства, получим:

2 3 t3A+ 3t-A+ 3tA + A-≥ 8A ⇔ A-(2t+-1)-≥ 8A 2 4 8 8

Решив данное неравенство, получим:

t≥ 1,5⇒ y ≥ 50

Таким образом, наименьшее целое значение $y = 50%.$

Банковский вклад