Задача к ЕГЭ на тему «Банковский вклад» №2

В феврале $2015$ года Дмитрий решил сделать вклад в банк в размере $A$ рублей на следующих условиях:
– каждый год в декабре, начиная с $2015$ , банк начисляет целое кратное десяти число $y$ процентов на сумму, находящуюся на счете в феврале текущего года;
– раз в год в январе Дмитрий имеет право снять некоторую сумму со своего счета.
Хитрый Дмитрий решил, начиная с января $2017$ года, снимать со своего счета сначала $A$ рублей, затем $2A$ , и затем снова $A$ . Какое должно быть наименьшее возможное число $y$ , чтобы Дмитрию удалось это сделать?

Составим таблицу, обозначив за $100 + y t = -------- 100$ :

|------|-------------------------|--------------------------| |Г од | Сум ма на сч ете д о | С ум ма на счете по сле | | |начи сления % (ф еврал ь)| начисл ения % (декабр ь) | |------|-------------------------|--------------------------| |2015--|-----------A-------------|-----------tA2-------------| |2016--|-----------tA------------|-----------t-A------------| |2017--|--------t2A-−-A----------|-------t(t2A-−-A-)--------| |2018 | t(t2A − A ) − 2A | t(t(t2A − A) − 2A ) | |------|-----2-------------------|--------------------------| -2019----t(t(t-A-−-A-) −-2A)-−-A-----------------------------|

Для того, чтобы Дмитрию удалось сделать то, что он задумал, нужно:

( |{ t2A − A ≥ 0 t(t2A − A ) − 2A ≥ 0 |( 2 t(t(tA − A) − 2A ) − A ≥ 0

(т.к. он не может снять со счета больше, чем есть на счете в данный момент)

Заметим, что, т.к. $2 t > 1 ⇒ A (t − 1) ≥ 0 » class=»math» width=»auto»> при всех <img decoding=$ .
Рассмотрим другие два неравенства:

{ 3 t − t − 2 ≥ 0 t4 − t2 − 2t − 1 ≥ 0

Заметим, что если выполнено $4 2 t − t − 2t − 1 ≥ 0$ , то $3 1 t − t − 2 ≥ --> 0 t » class=»math» width=»auto»>, т.к. <img decoding=$ , при которых выполнено второе неравенство, выполнено и первое неравенство. Значит, решим только второе неравенство:

√ -- t4 − (t + 1)2 ≥ 0 ⇒ (t2 − t − 1)(t2 + t + 1) ≥ 0 ⇒ t ≥ 1-+-5 2

Сделав обратную замену, получим: $√ -- y ≥ 50 ( 5 − 1)$ . Т.к. $√ -- 5 > 2 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=$ – это $60;70;80$ и т.д. Проверкой убеждаемся, что подходит $y = 70$ , т.к.:
$-- -- 70 > 50 (√ 5 − 1 ) ⇔ 12 > 5√ 5 ⇔ 144 > 125 » class=»math» width=»auto»> — верно. </div> </p> </div> </article> <div class=$ Банковский вклад