Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году:
Схема 1. К счету Ивана прибавляется 
от находящейся на счете суммы;
Схема 2. К счету Ивана прибавляется 
от находящейся на счете суммы и еще 50000 рублей.
Известно, что по прошествии 4 лет Иван может получить максимум 417967 рублей прибыли, если выберет оптимальную схему начисления прибыли. Сколько рублей положил Иван на счет в банке?
Если возможны несколько вариантов ответа, найдите хотя бы один.
Пусть в какой-то год на счете у Ивана будет 
рублей. Определим, каким должно быть 
, чтобы ему было выгодно выбрать схему 1. Если Иван выберет схему 1, то его прибыль в этом году составит 
рублей. Если схему 2 — то 
рублей. Если схема 1 выгоднее, то прибыль в случае выбора схемы 1 больше:
рублей, то прибыль для схем 1 и 2 будет одинаковой. Таким образом, если в какой-то год на счете у Ивана окажется не меньше 1000000 рублей, то ему выгоднее выбирать схему 1 в этот и в последующие годы, поскольку далее сумма на счете только увеличивается. Если сумма на счете в какой-то год меньше 1000000 рублей, то ему выгодно в этот год выбирать схему 2 и так далее до тех пор, пока сумма на счете не станет больше или равна 1000000 рублей.Таким образом, мы доказали, что не может быть такого, что Ивану в какой-то год выгодно выбрать схему 1, а потом — схему 2.
1) Последовательность выбора схем: 1, 1, 1, 1.
Пусть Иван изначально положил на счет 
рублей. Тогда он сразу выбирает схему 1 и сумма на счете через четыре года будет равна 
рублей. Значит, прибыль будет равна 
рублей. Проверим, может ли эта прибыль принимать максимальное значение, равное 417967:
меньше 1000000. Следовательно, получили противоречие, поскольку рассматривали случай 
.
2) Последовательность выбора схем: 2, 1, 1, 1.
Пусть Иван положил на счет 
рублей. Тогда в первый год ему выгодно выбрать схему 2, но уже во второй год ему выгодно выбрать схему 1. Сумма на счете в начале второго года будет равна 
рублям, значит, чтобы далее выгодно было выбрать схему 1, эта сумма должна быть не меньше 1000000 рублей:
: 
. Для этого сравним числа 
, то получим 
.
3) Последовательность выбора схем: 2, 2, 1, 1.
Пусть в первые два года Ивану было выгодно выбирать схему 2, а дальше – схему 1. Тогда на начало третьего года сумма на счете больше или равна 1000000 рублей:
должно быть таким: 
. Так как 
прибыль составит 417967 рублей.
Так как нам нужно найти хотя бы одно значение 
, то остальные случаи рассматривать не будем.