Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: другие схемы платежей» №9

На последние два года обучения в ВУЗе студент вынужден был взять образовательный кредит. Условия пользования кредитом таковы:
– пока он учится, гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет целое число $y$ процентов, причем $y$ кратно пяти;
– каждый год в течение обучения студента банк перечисляет на счет ВУЗа сумму, равную сумме годового обучения в ВУЗе;
– один раз в конце каждого года в течение обучения банк начисляет $y%$ на сумму, которую на данный момент клиент должен банку;
– по окончании обучения в течение двух лет клиент обязан выплачивать кредит равными ежегодными платежами после начисления процентов;
– в течение того времени, как клиент выплачивает кредит, банк увеличивает процентную ставку в два раза.
Под какое наименьшее $y%$ студент должен взять кредит, чтобы в итоге переплата банку составила $115, 6%$ от кредита.

Составим таблицу пользования кредит в течение $4$ лет ( $1$ и $2$ — пока студент учится, $3$ и $4$ — пока студент выплачивает кредит), обозначив за $t = 1 + 0,01y, p = 1 + 0,01 ⋅ 2y, A$ – стоимость годового обучения в ВУЗе, $x$ – ежегодный платеж в последние два года:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- |Год |С ум ма дол га д о начисл ения % |Су мм а долга посл е на числен ия % |Су& |----|---------------------------------|------------------------------------|------------------------------| |1---|---------------A-----------------|----------------tA------------------|-----не-вноси-т-платеж--------| |2---|-------------tA--+-A--------------|----------t(tA-+-A-) =-B------------|-----не-вноси-т-платеж--------| |3---|---------------B-----------------|----------------pB------------------|-----------pB-−-x-------------| |4 | pB − x | p(pB − x) | p(pB − x) − x | -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Т.к. в конце 4-ого года кредит выплачен, то $p(pB − x) − x = 0 (∗ )$ .

Заметим, что всего у банка было взято $2A$ рублей (за $2$ года обучения), а в итоге выплачено банку было $2x$ рублей. Таким образом, переплата банку равна $2x − 2A$ рублей.

Необходимо, чтобы переплата составляла $115,6%$ от суммы кредита, т.е. $2x − 2A = 1,156 ⋅ 2A ⇒ x = 2,156A$ .

Выразим из $(∗)$ , чему равен ежегодный платеж $p2B x = p-+-1 ⇒$

$p2t(t-+-1)A p + 1 = 2,156A$ (обе части равенства можно разделить на $A$ ).

Сделав обратную замену $t = 1 + 0,01y, p = 1 + 0,01 ⋅ 2y$ , получим уравнение на $y$ :

3 2 y + 300y + 22500y − 578000 = 0.

Т.к. по условию сказано, что $y$ — целое число, кратное пяти, то возможные значения $y : 5, 10, 15, 20, 25,⋅⋅⋅$
Подставляя по очереди данные значения, находим, что наименьшее подходящее $y = 20%$ .