Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: другие схемы платежей» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

На развитие бизнеса в банке был взят кредит сроком на 7 лет на следующих условиях:

– раз в год в сентябре в течение первых двух лет банк выдает заемщику 10 млн рублей;

– каждый год в декабре банк начисляет на текущий долг 10%;

– в течение первых двух лет раз в год после начисления процентов заемщик вносит платеж в счет погашения кредита, равный $y%$ от текущего долга;

– начиная с третьего года, заемщик обязан выплатить кредит дифференцированными платежами, вносимыми после начисления процентов.

Известно, что переплата по такому кредиту составит 9 456 075 рублей. Найдите $y$ .

Составим таблицу для первых двух лет пользования кредитом, при этом все суммы будем вычислять в рублях. Для этого обозначим величину $0,01y = p.$ Пусть $107 = A$ — сумма, которую банк выдает заемщику раз в год, пусть $t= 110 = 1,1. 100$

|----|-------------------|----------------------|-----------------| |Год-|Долг до-начисления %|Долг после начисления %-----Платеж------| |1---|--------A----------|---------tA-----------|------p⋅tA-------| -2-------(1-− p)⋅tA-+A--------t((1-− p)⋅tA-+A-)----p⋅t((1−-p)⋅tA-+-A)--

Тогда после второго платежа, то есть в начале третьего года, долг будет равен

(1 − p)⋅t((1 − p)⋅tA+ A )= B

Начиная с третьего года, заемщик обязан в течение пяти лет выплатить кредит дифференцированными платежами. Составим еще одну таблицу:

|----|-----------------|---------------------|--------------| |Год-|Долг до начисления %-Долг-после начисления %---Платеж-----| | | | | 1 | |1 | B | B + (t− 1)B | (t− 1)B+ 5B | |----|-----------------|---------------------|--------------| |2 | 4B | 4B +(t− 1)⋅ 4B |(t− 1)⋅ 4B+ 1B | | | 5 | 5 5 | 5 5 | |----|-----------------|---------------------|--------------| |... | ... | ... | ... | |----|-----------------|---------------------|--------------| | | 1 | 1 1 | 1 1 | |5 | 5B | 5B +(t− 1)⋅5B |(t− 1)⋅5B+ 5B | ------------------------------------------------------------

Таким образом, за последние пять лет он заплатил банку

1 4 1 1 1 (t− 1)B + 5B +(t− 1)⋅5B + 5B + ⋅⋅⋅+ (t− 1)⋅5B + 5B = ( 4 1) 1 = (t− 1)B ⋅ 1 +5 + ⋅⋅⋅+ 5 + 5⋅5B = (t− 1)B ⋅3+ B = (3t− 2)B

За первые два года он заплатил банку

(p⋅tA)+ (p⋅t((1− p)⋅tA + A))= (2⋅tp +p(1− p)⋅t2)A

Следовательно, за все годы пользования кредитом заемщик заплатил банку

( ) 2 22 2pt+p(1− p)t + (3t− 2)((1 − p) t +(1− p)t) A = C

Обозначим $1 − p = x.$ Тогда с учетом $p= 1− x$ имеем:

( ) ( ) C = 2t− 2xt+ x(1 − x)t2+ 3x2t3− 2x2t2+ 3xt2− 2xt A = 3x2t2(t− 1)+ 4xt(t− 1)+2t A

Тогда с учетом того, что в сумме заемщик взял в банке $2A$ рублей, переплата по кредиту равна

( ) P er = C − 2A = 3x2t2(t− 1)+ 4xt(t− 1)+ 2t− 2 A =

( ) = 3(xt)2+ 4(xt)+ 2 (t− 1)A = ((3xt+-2)2+-2)(t− 1)A 3

Таким образом, мы получили уравнение:

2 Per = ((3xt+2)-+-2)(t− 1)A 3

Следовательно,

(∘ ---------- ) x = 1- --3P-er-− 2− 2 3t A (t− 1)

Теперь подставим $7 t= 1,1; A = 10; Per = 9456075$ и найдем $x$ :

( ∘--------- ) ( ) --1-- 26368-225- -1--- 5-⋅13-⋅79 -95 x = 3⋅1,1 106 − 2 = 3⋅1,1 103 − 2 = 100

Следовательно, $p= 1 − x = 0,05,$ откуда $y = p⋅100= 5.$

Банковский кредит: другие схемы платежей