Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: другие схемы платежей» №3

В конце четвертого курса беспечный Алеша понял, что ему не хватает денег на обучение на следующий год, поэтому на последний, пятый год обучения в университете Алеша решил взять кредит. Условия пользования кредитом следующие:
– в августе банк выдает Алеше $976000$ рублей на последний год обучения с условием, что погасить кредит Алеша должен за $4$ года;
– в первой половине декабря каждого года банк начисляет некоторое целое число $y$ процентов на текущий долг (меньшее $100%$ );
– во второй половине декабря каждого года, начиная со второго, Алеша делает платеж в счет погашения кредита, причем все платежи одинаковые.

Под какой процент был взят кредит в банке, если известно, что в итоге Алеша заплатил банку $1875000$ рублей?

Обозначим за $A = 976000$ рублей, а также за $100+y t = -100-$ и за $x$ — платеж. Составим таблицу:

|-----|------------------|--------------------|----------------------|--------------| |Год |Сум ма д олга до |Су мм а д олга после| С умм а долга | П ла теж | | | нач ислени я % | н ачислен ия % | п осле платеж а | | |-----|------------------|--------------------|----------------------|--------------| |1----|-------A----------|--------tA2----------|--------2-tA-----------|нет-пл-атеж-а-| |2----|-------tA---------|--------t-A---------|-------t-A-−-x--------|------x-------| |3----|-----t2A-−--x------|-----t(t2A-−-x-)-----|----t(t2A-−--x) −-x----|------x-------| |4 | t(t2A − x) − x | t(t(t2A − x) − x) |t(t(t2A − x) − x) − x | x | ------------------------------------------------------------------------------------

Т.к. в конце четвертого года кредит погашен полностью, то

2 4 2 t(t(tA − x) − x) − x = 0 ⇔ t A − x (t + t + 1) = 0

Заметим, что за годы пользования кредитом Алеша заплатил банку $3x$ рублей, следовательно, $3x = 1875000 ⇒ x = 625000$ рублей. Значит, получаем следующее уравнение:

4 2 976t − 625(t + t + 1) = 0

Т.к. $y$ – целое количество процентов, то $t$ — конечная десятичная дробь (причем больше $1$ и меньше $2$ ). Значит, знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на $2$ и на $5$ . Подберем корень данного уравнения, пользуясь тем фактом, что если уравнение с целыми коэффициентами (а у нас именно такое) имеет рациональный корень $p q$ , то $p$ — делитель $625$ , а $q$ — делитель $976$ . Поэтому выпишем все делители этих чисел (не учитывая знак):

делители $625$ — это $1, 5,25,125,625$ ;
делители $976$ — это $1, 2,4,8,16,61,122, 244,488,976$ .

Заметим, что ни один делитель $625$ не имеет общих делителей ни с одним из делителей числа $976$ . Значит, т.к. “знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на $2$ и на $5$ ”, число $q$ может быть либо $2$ , либо $4$ , либо $8$ , либо $16$ .