Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: другие схемы платежей» №14

В банке был взят кредит под $20%$ годовых на следующих условиях:

— по нечетным годам клиент в качестве ежегодного платежа выплачивает банку только проценты, начисленные на текущий долг в этом году;
—- по четным годам клиент в качестве ежегодного платежа выплачивает половину от текущего долга в этом году после начисления процентов, причем данный платеж должен быть больше $15$ от изначальной величины кредита;
— как только платеж по четным годам становится меньше $1 5$ от кредита, то кредит полностью выплачивается одним платежом.

Сколько процентов от величины кредита составила общая сумма выплат по такому кредиту?

Обозначим величину кредита за $A$ рублей. Составим таблицу. Заметим, что так как в нечетные годы клиент выплачивает только начисленные проценты, то остаток долга в эти годы после выплаты становится равен величине долга в начале года (до начисления процентов).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- |Год |Д олг в нач але года |Д олг посл е н ачислен ия % | Д олг посл е вы пл ат& |----|---------------------|----------------------------|---------------------------|---------------------| |1---|---------A-----------|-----------1,2A-------------|------------A--------------|-------0,2A----------| |2---|---------A-----------|-----------1,2A-------------|--------0,5-⋅ 1,2A---------|-----0,5-⋅ 1,2A------| |3---|-----0,5-⋅ 1,2A------|-----1,2-⋅ (0,5-⋅ 1,2A-)----|--------0,5-⋅ 1,2A---------|-0,-2 ⋅ (0,5-⋅ 1,2A-)| |4 | 0,5 ⋅ 1,2A | 1,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2A ) | 0,5 ⋅ (0,5 ⋅ 1,22A ) |0,5 ⋅ (0,5 ⋅ 1, 22A) = | | | | | 2 | |----|---------------------|----------------------------|---------------------------|--=--(0,5 ⋅ 1,-2)A---| |...--|---------...---------|------------...-------------|------------...-------------|---------...----------| -2n------(0,5-⋅ 1,2)n−1A--------1,2 ⋅ (0,5-⋅ 1,2)n−-1A---0,5 ⋅-(1,-2 ⋅ (0,5-⋅ 1,2)n−1A-)-(0,5-⋅ 1,2)nA-----|

Найдем номер года, начиная с которого платеж $n (0,5 ⋅ 1,2) A$ будет меньше $1 5$ от $A$ :

(0,5 ⋅ 1,2)nA < 1-A ⇔ (0,6)n < 0, 2 5

Подбором можно определить, что $n = 4$ (так как $0,62 = 0,36; 0,63 = 0,216; 0,64 = 0,1296$ ). Таким образом, в восьмом году клиент выплачивает уже весь остаток долга (а это $1,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)4−1A = 1,2 ⋅ (0, 5 ⋅ 1,2 )3A$ ), тем самым погашая кредит.

Следовательно, общая сумма выплат по кредиту равна сумме выплат по нечетным и по четным годам:

(0,2A + 0,2 ⋅ 0,5 ⋅ 1,2A + 0,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)2A + 0, 2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)3A )+ + (0,5 ⋅ 1,2A + (0,5 ⋅ 1,2)2A + (0,5 ⋅ 1, 2)3A + 1,2 ⋅ (0,5 ⋅ 1,2)3A) = 2 3 2 3 3 = 0,2A + A ⋅ (0,2 ⋅ 0,6 + 0,2 ⋅ 0,6 + 0,2 ⋅ 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 1, 2 ⋅ 0,6 ) = = 0,2A + 1,2 ⋅ 0,6 ⋅ A ⋅ (1 + 0,6 + 2 ⋅ 0,62) = 1,8704A

Таким образом, общая сумма выплат составила $187,04%$ от суммы кредита.