Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: другие схемы платежей» №12

4 января Валентина оплатила покупку со своей кредитной карты на $800000$ рублей. Условия пользования кредитной картой таковы:
— 10 и 30 числа каждого месяца на текущий долг начисляется $4%$ ;
— между 10 и 30 числами каждого месяца Валентина имеет возможность внести на карту любую сумму, причем эта сумма идет сначала на погашение начисленных процентов, а оставшаяся часть — на погашение части основного долга. Таким образом, основной долг уменьшается;
— если внесенная таким образом сумма не превышает сумму начисленных процентов, то основной долг не меняется, и происходит лишь погашение части суммы начисленных процентов;
— 1 числа каждого месяца, начиная с февраля, Валентина должна вносить обязательный платеж по карте так, чтобы сумма долга (в процентах от кредита) уменьшалась согласно таблице:

|----------|------------|---------|----------|------|---------| |4 я нваря |4 ф еврал я |4 мар та |4 апреля |4 мая |4 ию ня | |--100%----|----90%-----|--70%----|--50%-----|20%---|--0%-----| --------------------------------------------------------------|

Сколько процентов от стоимости покупки составит переплата Валентины за совершенную покупку, если помимо обязательных платежей 20 числа каждого месяца Валентина будет вносить на карту $10000$ рублей?

Введем обозначения: $A = 800000$ рублей – сумма, оплаченная по кредитной карте, $t = 1,04$ , $x = 10000$ рублей.

|----------------|------------------|-----------------|------------------|----------------------| |Д олг н а 4 число|Д олг на 10 ч исло|Дол г на 20 число|Д олг на 30 чи сло|Обязат |-------A--------|-------tA---------|-----tA-−-x------|----t(tA-−-x)-----|---------a------------| |----------------|------------------|-----------------|------------------|----------1-----------| |-----0,9A-------|-----t⋅0,9A-------|---t⋅0,9A-−-x----|--t(t⋅0,9A-−-x)---|---------a2-----------| |-----0,7A-------|-----t⋅0,7A-------|---t⋅0,7A-−-x----|--t(t⋅0,7A-−-x)---|---------a3-----------| |-----0,5A-------|-----t⋅0,5A-------|---t⋅0,5A-−-x----|--t(t⋅0,5A-−-x)---|---------a4-----------| ------0,2A-------------t⋅0,2A-----------t⋅0,2A-−-x-------t(t⋅0,2A-−-x)-------------a5------------

Вычислим $ai$ обязательные платежи. Т.к. до первого обязательного платежа долг был равен $t(tA − x)$ , а после платежа должен стать равным $0, 9A$ , то платеж $a1 = t(tA − x ) − 0,9A = t2A − tx − A + 0,1A = (t2 − 1)A − tx + 0,1A$ (расписали $0, 9A = A − 0,1A$ ).

Аналогично второй платеж $a = t2 ⋅ 0,9A − tx − 0,7A = t2 ⋅ 0,9A − tx − 0,9A + 0,2A = (t2 − 1) ⋅ 0,9A − tx + 0, 2A 2$ ;
третий платеж $2 a3 = (t − 1) ⋅ 0, 7A − tx + 0,2A$ ;
четвертый платеж $a4 = (t2 − 1 ) ⋅ 0,5A − tx + 0,3A$ ;
пятый платеж $a5 = (t2 − 1) ⋅ 0,2A − tx + 0, 2A$ .

Общая сумма выплат по данной карте равна сумме платежей в $x$ рублей (их было 5) плюс сумма обязательных платежей:

$5 ⋅ x + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5x + (t2 − 1) ⋅ A ⋅ (1 + 0,9 + 0,7 + 0,5 + 0,2) − 5tx+$

$2 + A (0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,2) = 5x + (t − 1) ⋅ 3,3A − 5tx + A$

Тогда переплата по кредитной карте равна общей сумме выплат за вычетом суммы, взятой в кредит, то есть за вычетом $A$ , то есть переплата равна $5x + (t2 − 1) ⋅ 3,3A − 5tx$ .

Значит, относительно суммы кредита переплата составила:

$2 ( ) 5x-+-(t-−-1)-⋅ 3,3A-−-5tx-⋅ 100% = 3,3(t − 1 )(t + 1) − 5x(t −-1) ⋅ 100% = A A$

$( ) 5 ⋅ 10000 ⋅ 0,04 = 3,3 ⋅ 0,04 ⋅ 2,04 −--------------- ⋅ 100% = (26,928 − 0,25)% = 26,678% 800000$