Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: другие схемы платежей» №11

В банке в честь Дня труда действует следующее предложение по выдаче кредита:

— кредит выдается сроком на 5 лет под 10% годовых;

— в первый, третий и пятый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент обязан внести некоторый платеж, одинаковый во все эти три года;

— во второй и четвертый годы после начисления процентов на текущую сумму долга клиент выплачивает только проценты по кредиту.

Какое максимальное целое число тысяч рублей в кредит может позволить себе взять трудоголик Лера, если она знает, что переплата по кредиту не должна превысить 100 тысяч рублей?

Пусть Лера взяла в кредит $A$ тысяч рублей, а платеж, который она вносила в первый, третий и пятый годы, равен $x$ тысяч рублей. Составим таблицу:

|---|---------------|--------------------|--------------|---------------------| Год Сумма долга до Сумма долга после Сумм а платежа Сумма долга |1--|------A--------|--------1,1A---------|------x-------|-------1,1A-− x-------| |2--|----1,1A-− x----|1,1A-−-x+-0,1(1,1A-− x)|-0,1(1,1A-−-x)--|-------1,1A-− x-------| |3--|----1,1A-− x----|----1,1(1,1A-−-x)-----|------x-------|---1,1(1,1A-−-x)−-x----| |4--|1,1(1,1A−-x)−-x-|--1,1(1,1A-−-x)−-x+---|-0,1(1,1(1,1A−---|---1,1(1,1A-−-x)−-x----| |---|---------------|+0,1(1,1(1,1A−-x)−-x)-|---−x)−-x)----|---------------------| -5---1,1(1,1A−-x)−-x---1,1(1,1(1,1A-− x)-− x)-------x--------1,1(1,1(1,1A-− x)-− x)−-x

Заметим, что в те годы, когда платеж составлял $x,$ мы записывали сумму долга после начисления процентов как $1,1⋅дол г;$ а в те годы, где платеж равнялся начисленным процентам — как $долг +0,1⋅долг.$ Это было сделано лишь для удобства.

Так как в последний, пятый, год кредит был погашен, то

( ) 1,1(1,1(1,1A− x)− x)− x= 01,13A − x 1,12+ 1,1 +1 = 0

По условию задачи переплата не должна превысить 100 тысяч рублей. Вычислим переплату. Для этого нужно из общей суммы всех выплат вычесть сумму кредита:

3x+ 0,1(1,1A − x)+ 0,1(1,1(1,1A− x)− x)− A = 2,69x− 0,769A

Таким образом, получаем следующее неравенство:

2,69x− 0,769A ≤ 100

Подставим в это неравенство выраженное из уравнения $3 x= --12,1-⋅A----: 1,1 + 1,1+ 1$

1,13⋅A 66200 2,69⋅1,12-+1,1+-1 − 0,769A ≤ 100 ⇔ A≤ 207--

Делением в столбик получаем оценку $319< 66200< 320. 207$

Так как $A$ — целое число тысяч рублей, то наибольшее подходящее $A = 319$ тысяч рублей.