Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №8

Банк выдал кредит на $1$ млн. рублей под $7%$ годовых сроком на 15 лет. Через сколько полных лет после выдачи кредита банк вернет себе свой миллион, если выплаты производятся раз в год дифференцированными платежами?

Так как кредит выплачивается дифференцированными платежами, то каждый год после выплаты основной долг уменьшается на $115$ (так как 15 лет) часть от кредита, равного 1 млн. рублей. Следовательно, на начало второго года долг будет равен $14 15$ млн. рублей, на начало третьего будет равен $13 15$ млн. рублей и т.д.

Составим таблицу, ведя вычисления в млн. рублей:

|-----|------------------------|---------------------------|--------------------| |Год--|До-лг-до-начисл-ения-%--|Д-олг-после-нач-ислени-я-%-|------Пл-атеж-------| |1 | 1 | 1 + 0,07 ⋅ 1 | 0,07 ⋅ 1 +-1 ⋅ 1 | |2----|-----------14------------|-------14+--0,07 ⋅-14------|---0,07-⋅ 14-1+5-1---| |-----|-----------1513------------|-------1153---------1153-------|---------1153---151----| |3----|-----------15------------|-------15 +-0,07 ⋅-15------|---0,07-⋅15-+-15----| |4----|-----------1215------------|-------1125 +-0,07 ⋅-1125------|---0,07-⋅ 1125-+-115---| |... | ... | ... | ... | |-----|--------15−-(k−1)---------|-15−(k−1)---------15−-(k−1)--|-------15−-(k−1)---1--| |k----|-----------15------------|----15---+--0,07 ⋅---15-----|0,-07 ⋅--15---+--15-| |...---|----------...-----------|------------...------------|---------...---------| |14---|-----------215------------|-------215 +-0,07 ⋅-215------|---0,07-⋅125-+-115----| |15 | 1- | 1-+ 0,07 ⋅ 1 | 0,07 ⋅-1 + -1 | ------------------15--------------------15---------15-----------------15---15----

1 способ.

Тогда банк вернет себе свой миллион тогда, когда впервые сумма выплат станет больше 1 млн рублей. Следовательно, необходимо просуммировать все выплаты с 1-ого по $k$ -ый годы, и тот наименьший $k$ , для которого эта сумма превысит 1 миллион, и будет ответом на вопрос задачи.

( ) ( ) ( ) ( ) 0, 07 ⋅ 1 + 1-⋅ 1 + 0,07 ⋅ 14-+ 1-- + ⋅⋅⋅ + 0,07 ⋅ 15-−-(k-−-2) +-1- + 0,07 ⋅ 15-−-(k −-1) +-1- > 1 ⇔ 15 15 15 15 15 15 15 ( ) 14 15 − (k − 2) 15 − (k − 1) 1 ⇔ 0, 07 ⋅ 1 + —+ ⋅⋅⋅ + ———— + ———— + —⋅ k > 1 ⇔ 15 15 15 15 ( ) ⇔ 0, 07 ⋅ 15-+ 15-−-1-+ ⋅⋅⋅ + 15 −-(k-−-2-)+ 15 −-(k −-1) + 1-⋅ k > 1 ⇔ 15 15 15 15 15 15 ⋅ k − (1 + 2 + ⋅⋅⋅ + (k − 2) + (k − 1)) k ⇔ 0, 07 ⋅—————————————-+ —> 1 ⇔ 15 15 k(k−1) 15k-−—2— k— ⇔ 0, 07 ⋅ 15 + 15 > 1 ⇔ ⇔ 7k2 − 417k + 3000 < 0 ⇔ ( √ ---- √ ---) 417-−--19--249 417 +-19--249- ⇔ k ∈ 14 ; 14

Заметим, что $√---- 417-−-19--249- 14 > 0 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, необходимо оценить данное число с точностью до целого. </p> <p class=$

√ ---- 15 < 249 < 16 √ ---- − 304 < − 19 ⋅ 249 < − 285 1 113 417 − 19√249-- 132 3 8---= ----< --------------< ----= 9 -- 14 14 14 14 7

Таким образом, наименьшее подходящее $k$ – это либо $9$ (если $417−19√249 ---14-----∼ 8,...$ ), либо $10$ (если $√--- 417−19-249∼ 9,... 14$ ). Подставив в выражение $7k2 − 417k + 3000$ $k = 9$ , получим $− 186$ . Так как неравенство было как раз “ $< 0$ ”, то подходит $k = 9$ .

Следовательно, через 9 лет банк вернет себе миллион.

2 способ.

Учитывая рассуждения из 1 способа, будем вычислять последовательно сумму выплат за первый год, за первый и второй, за первый, второй и третий и т.д., пока не получится число больше 1 млн. рублей.

За 1 год: $1 7 1 41 0, 07 ⋅ 1 +---⋅ 1 =----+ ---= ---- < 1 15 100 15 300$ .

За 1 и 2 годы: $41 14 1 403 ----+ 0, 07 ⋅---+ ---= -----< 1 300 15 15 1500$ .

За 1, 2 и 3 годы: $403 13 1 594 -----+ 0,07 ⋅---+ ---= ----- < 1 1500 15 15 1500$ .

$...$

За 1-8 годы: $1444- 1500 < 1$ .

За 1-9 годы: $1593 -----> 1 1500 » class=»math» width=»auto»>. </p></div> </div> </article> <div class=$ Банковский кредит: дифференцированный платеж