Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №7

Просмотров 7 Комментарии 0

Банк выдал кредит на сумму $666666$ рублей под $12,5%$ годовых на некоторое число $n$ лет. Известно, что кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно. Найдите наибольшее возможное $n$ , если известно, что наибольший платеж по кредиту точно превысил $150000$ рублей.

Фраза “кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно” означает, что долг выплачивался дифференцированными платежами. Значит, наибольший платеж по кредиту – это первый платеж. Действительно, если кредит взят на $A$ рублей сроком на $n$ лет под $12,5%$ годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на $1 nA$ по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен $A − 1nA = n−n1A$ , после второго – $n−n2A$ и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это $1 A n$ ). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше, соответственно, и платежи становятся меньше.

В первый год долг равен $666666$ , то есть первый платеж равен

-1 x1 = n ⋅ 666666 + 0,125 ⋅ 666666

Так как наибольший платеж превысил $150000$ рублей, то получаем неравенство

$( 1 1) 1n ⋅ 666666 + 0,125 ⋅ 666666 > 150000 ⇔ 666666 ⋅ —+ — > 150000 ⇔ n 8 » class=»math» width=»auto»> </p> <p class=$ $⇔ 1-> -88889- ⇒ n < 888888- = 888890-−--2 = 10 − ---2-- n 888888 88889 88889 88889$

Таким образом, наибольшее целое $n$ (целое, так как это количество лет) равно $n = 9$ .