Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №5

Банк выдает кредит на 9 месяцев под $14%$ , причем выплачивать кредит нужно ежемесячными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась каждый месяц на одну и ту же величину.

Какое наибольшее кратное $1000$ число рублей можно взять в банке в кредит, чтобы переплата не превысила $150000$ рублей?

Фраза “сумма долга уменьшалась каждый месяц на одну и ту же величину” означает, что долг будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Составим таблицу, приняв за $A$ тыс. рублей – сумму, выданную в кредит.

|--------|-------------------------|-----------------------|------------------------| |М еся ц | Д олг в ты с. ру бле й | С ум ма пла теж а |Д ол г в ты с. ру бл ей | | |п осл е нач исл ен ия % | в ты с. р убл ей | пос ле п лат еж а | |--------|-------------------------|-----------------------|------------------------| |1 | A + 0, 14 ⋅ A | 0, 14 ⋅ A + 19 ⋅ A | 89 ⋅ A | |--------|--8---------------8------|--------8--------1-----|---------7--------------| |2 | 9 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 9 ⋅ A |0, 14 ⋅ 9 ⋅ A + 9 ⋅ A | 9 ⋅ A | |--------|--7---------------7------|--------7--------1-----|---------6--------------| |3-------|--9-⋅ A-+-0,-14-⋅-9-⋅ A--|0,-14-⋅-9-⋅ A-+--9 ⋅-A-|---------9-⋅ A----------| |4 | 6 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 6 ⋅ A |0, 14 ⋅ 6 ⋅ A + 1⋅ A | 5 ⋅ A | |--------|--9---------------9------|--------9--------9-----|---------9--------------| |5 | 5 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 5 ⋅ A |0, 14 ⋅ 5 ⋅ A + 1⋅ A | 4 ⋅ A | |--------|--94---------------94------|--------94--------91-----|---------93--------------| |6 | 9 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 9 ⋅ A |0, 14 ⋅ 9 ⋅ A + 9 ⋅ A | 9 ⋅ A | |--------|--3---------------3------|--------3--------1-----|---------2--------------| |7-------|--9-⋅ A-+-0,-14-⋅-9-⋅ A--|0,-14-⋅-9-⋅ A-+--9 ⋅-A-|---------9-⋅ A----------| | | 2 2 | 2 1 | 1 | |8-------|--9-⋅ A-+-0,-14-⋅-9-⋅ A--|0,-14-⋅-9-⋅ A-+--9 ⋅-A-|---------9-⋅ A----------| |9 | 1 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 1 ⋅ A |0, 14 ⋅ 1 ⋅ A + 1⋅ A | 0 | ------------9---------------9---------------9--------9-------------------------------

Общая сумма выплат по кредиту равна

$( ) 8- 7- 6- 5- 4- 3- 2- 1- 1- 0,14 ⋅ A ⋅ 1 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 ⋅ 9 ⋅ A = 0,14 ⋅ A ⋅ 5 + A$ (тыс.рублей).

Тогда переплата по кредиту равна $(0,14 ⋅ A ⋅ 5 + A ) − A$ . Т.к. переплата не должна превышать $150$ тыс. рублей, то имеем следующее неравенство

2 0, 14 ⋅ A ⋅ 5 ≤ 150 ⇔ A ≤ 214 -- тыс. рубл ей. 7

Т.к. сумма кредита в рублях должна быть кратна $1000$ , то сумма кредита в тыс. рублей должна быть целым числом. Следовательно, наибольшее целое $A = 214$ тыс. рублей или $214000$ рублей.