Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №26

1-го августа 2022 года планируется взять кредит на 3 года на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года долг возрастает на некоторое число процентов по сравнению с концом предыдущего года;

– в июле каждого года должна быть сделана выплата;

– 1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа предыдущего года;

– к концу июля 2025 года долг должен быть полностью погашен.

Известно, что процентная ставка в каждый год, кроме первого, ровно на 1% больше процентной ставки в предыдущем году. Найдите наибольшее значение процентной ставки в первый год, если переплата по данному кредиту не превосходит трети от изначально взятой суммы.

Так как кредит взят в августе 2022 года, в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим размер кредита через $S,$ а процентную ставку за первый год через $p.$ При этом каждый год процентная ставка увеличивается на 1. Кредит взят на 3 года, то есть в январе 2023-го года сумма долга увеличится на $p%,$ в январе 2024-го года — на $(p +1)%,$ в январе 2025-го года — на $(p +2)%.$

1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа предыдущего года. Обозначим эту величину за $B.$

Таким образом, сумма долга после выплаты в 2023-ем году составит $S − B,$ в 2024-ом году $S − 2B,$ в 2025-ом году $S− 3B.$ При этом в 2025-ом году долг должен быть погашен, то есть $S − 3B = 0$ и $B = 13S.$

Отсюда получим, что сумма долга после выплаты в 2023-ем году равна $S− B = S− 13S = 23S,$ сумма долга после выплаты в 2024-ом году равна $S − 2B = S − 2S = 1S. 3 3$

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Сумма долга	Выплата
	до начисления %	после начисления %	после выплаты

2023	$S$	$S+ 1p00 ⋅S$	$23S$	$S + 1p00-⋅S − 23S$

2024	$23S$	$23S+ p1+010 ⋅ 23S$	$13S$	$23S + p+1100-⋅ 23S− 13S$

2025	$1 3S$	$1 p+2 1 3S+ 100 ⋅3S$	$0$	$1 p+2 1 3S+ -100 ⋅3S− 0$

По условию переплата по кредиту не превосходит $13S.$ При этом переплата равна разности суммы выплат (сумма по столбцу «Выплата») и изначальной суммы кредита $S.$ Выпишем это в виде неравенства:

$pict$

Таким образом, максимально возможная процентная ставка по кредиту за первый год составляет 16%.