Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №25

Просмотров 6 Комментарии 0

На какое максимальное количество лет нужно выдать кредит, который будет выплачиваться дифференцированными платежами, чтобы наибольший годовой платеж превышал наименьший годовой платеж не более чем на $30%$ ? Годовая процентная ставка по кредиту равна $10%$ .

Т.к. кредит выплачивается дифференцированными платежами, то первый платеж будет наибольшим, а последний — наименьшим. Действительно, если кредит взят на $A$ рублей сроком на $n$ лет под $10%$ годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на $1A n$ по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен $-1 n−1- A − n A = n A$ , после второго – $n−2- n A$ и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это $1A n$ ). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше.

В первый год долг равен $A$ , то есть первый платеж равен $x1 = 1nA + 0,1A$ .
В последний год долг равен $1A n$ , следовательно, последний платеж равен $xn = 1A + 0,1 ⋅ 1A n n$ .

По условию наибольший платеж должен превышать не более чем на $30%$ наименьший платеж, то есть должен составлять не более $130%$ от наименьшего, следовательно:

( ) x ≤ 1,3x ⇒ 1-A + 0,1A ≤ 1,3 ⋅ 1A + 0,1 ⋅ 1A ⇔ n ≤ 4,3. 1 n n n n

Так как $n$ – количество лет, то есть целое число, то $n = 4$ .