Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №24

Просмотров 8 Комментарии 0

15 января некоторого года планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите $r.$

Фраза «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. Следовательно, можно составить таблицу, взяв за $A$ сумму кредита:

|------|-------------------|----------------------|-------------| |Мес1яц-|Долг до-наAчисления-%|Долг-послAе+-начrисAления %-|--1ПAла+тежrA---| |--2---|-------24A---------|----24A-+-1r00⋅ 24A-----|1-25A+--r100⋅ 24A| |-...--|-------25...---------|----25---.10.0.--25-------|25---1.0.0.-25--| |-25---|--------1A---------|-----1A-+-r--⋅ 1A-----|1-A+--r-⋅-1A-| ---------------25---------------25----100--25--------25---100-25---

Таким образом, как и должно быть при дифференцированных платежах, все платежи состоят из двух частей, причем первые части одинаковы и равны $125A.$

Так как сумма всех платежей и есть сумма, уплаченная банку за время кредитования, то

25 ⋅ 1-A+-r- ⋅ 1-A⋅(25+ 24+ ...+ 1)= 1,13A 25 100 25

С использованием формулы суммы арифметической прогрессии далее имеем:

A + -r-⋅-1A ⋅ (25+-1)⋅25= 1,13A 100 25r 26 2 100 ⋅-2 A = 0,13A

Отсюда получаем $r = 1.$