Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №23

Просмотров 6 Комментарии 0

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн рублей?

Пусть $n$ — число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен 25%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на $1n$ часть, то есть на $14n$ млн рублей. Составим таблицу:

|----|-------------------|----------------------|-------------| |Год-|Долг до-начисления-%|Долг-после-н1ачисления %-|--1В4ыпл1ата---| |1---|------n−114---------|--n−1-14-+41-⋅1n4−1------|14-n +1-4n−⋅114--| |2---|-------n-⋅14-------|---n-⋅14-+4-⋅-n-⋅14---|n-+-4 ⋅-n-⋅14| |..n.--|--------.1..4---------|------14-+.. 1.⋅ 14------|--14+...1-⋅ 14--| --------------n------------------n--4--n-----------n---4--n----

Таким образом, общая сумма выплат составляет

14+ 1 ⋅14+ 14+ 1 ⋅ n−-1-⋅14 +⋅⋅⋅+ 14+ 1 ⋅ 14= n 4 ( n 4 n ) n 4 n = 1 ⋅14⋅ 1+ n-− 1-+ ⋅⋅⋅+ 1 + n⋅ 14 = 4 n n n 1 1+ 1 7 = 4 ⋅14⋅--2n-⋅n+ 14= 4(n +1)+ 14

В скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен $1 n,$ $n$ -ый равен 1, количество членов равно $n.$

Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию 24,5 млн рублей, то получаем

7(n+ 1)+ 14= 24,5 ⇔ n = 5 4