Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №22

Просмотров 8 Комментарии 0

Банк выдает кредит на следующих условиях:

— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;

— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;

— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно $17:9.$

Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято $A$ рублей в кредит. Если $r%$ – процентная ставка в банке, то обозначим величину $0,01r = p$ . Тогда можно составить таблицу:

|----|----------------------|-------------------------|----------| Год Д олг до начисления проц. Д олг после начисления проц. П лате&#x0436 |2---|----------8A----------|--------8A+-p⋅-8A--------|p⋅ 8A-+91A| |...--|----------9...----------|--------9--...--9---------|--9-...-9--| |9---|----------1A----------|--------1A+-p⋅-1A--------|p⋅ 1A-+-1A| ----------------9--------------------9------9------------9----9--

Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно,

pA+ 19A 17 1 p⋅ 1A-+-1A-= 9- ⇔ p= 8 9 9

Тогда переплата по кредиту равна

8 7 1 ( 8 7 1) pA+ p⋅ 9A+ p⋅ 9A+ ⋅⋅⋅+p ⋅9A = p⋅A⋅ 1+ 9 + 9 + ⋅⋅⋅+ 9 = 5pA

Следовательно, переплата составила от кредита

5pA-⋅100% = 500p% = 62,5%. A