Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №21

15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Пусть $A$ тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это $1- 31$ часть от $A$ ; вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.

Составим таблицу:

|------|------------|------------------|-----------------------|----------| |Месяц |наДчиосллегн диоя %| нДаочлигслепо&#xсле Сумм а Долг после |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | | | 1- | 30 | |1 | A | A+ 0,03⋅A | 0,03⋅A + 31 ⋅A | 31 ⋅A | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | 30 |30 30 | 30 1 | 29 | |2 | 31 ⋅A |31 ⋅A+ 0,03⋅31 ⋅A | 0,03⋅31 ⋅A+ 31 ⋅A | 31 ⋅A | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | | | | | |3 | 29 ⋅A |29 ⋅A+ 0,03⋅ 29⋅A | 0,03⋅ 29 ⋅A+-1 ⋅A | 28 ⋅A | | | 31 |31 31 | 31 31 | 31 | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| |... | ... | ... | ... | ... | | | | | | | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| |16 | 16 ⋅A |16 ⋅A+ 0,03⋅ 16⋅A |0,03⋅ 16-⋅A + 1-⋅A =29,6 | 15 ⋅A | | | 31 |31 31 | 31 31 | 31 | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| |... | ... | ... | ... | ... | | | | | | | |------|------------|------------------|-----------------------|----------| | | -1 |-1 -1 | -1 -1 | | |31 | 31 ⋅A |31 ⋅A+ 0,03⋅31 ⋅A | 0,03⋅31 ⋅A+ 31 ⋅A | 0 | ---------------------------------------------------------------------------

Из полученного уравнения $16 -1 0,03⋅31 ⋅A + 31 ⋅A = 29,6$ можно найти

A = 620.

Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку: $-1 30 -1 1- 1- 1- ( 30 29 1-) 0,03 ⋅A+ 31A + 0,03 ⋅31A+ 31A + ⋅⋅⋅+ 0,03⋅31A + 31A= 31⋅ 31 A+ 0,03⋅A⋅ 1+ 31 + 31 +⋅⋅⋅+ 31 =$ $1+-311 37 37 = A + 0,03⋅A ⋅ 2 ⋅31 = 25A = 25 ⋅620= 917,6$ тыс. рублей.