Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №20

Просмотров 8 Комментарии 0

Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под $8%$ годовых, причем выплачивал кредит он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года пользования кредитом.

Пусть $A$ млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу:

|-----|------------------------|---------------------------|------------------| |Го д |До лг до начисл ения % |Д олг после нач ислени я % | Пл атеж | |1----|-----------A------------|-------A-+--0,08 ⋅-A-------|-0,08-⋅ A-+-1-⋅ A-| |-----|----------11------------|-----11-----------11-------|-------11--12-1---| |2----|----------1120A-----------|-----1120A-+--0,08 ⋅-1120A-----|0,-08 ⋅-1120A-+-121A-| |3----|----------12A-----------|-----12A-+--0,08 ⋅-12A-----|0,-08 ⋅-12A-+-12A-| -4---------------912A-----------------192A-+--0,08 ⋅-912A------0,-08 ⋅-912A-+-112A-| |... | ... | ... | ... | |-----|----------5-------------|------5-----------5--------|-------5------1---| |8----|----------12A-----------|-----12A-+--0,08 ⋅-12A-----|0,-08 ⋅-12A-+-12A-| |...---|----------...-----------|------------...------------|--------...--------| |11---|----------212A-----------|-----122A-+--0,08 ⋅-212A-----|0,-08 ⋅-212A-+-112A-| |12 | 1-A | -1A + 0,08 ⋅ 1-A |0, 08 ⋅ 1-A +-1A | -----------------12------------------12-----------12---------------12----12---

Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку

( 1 ) ( 11 1 ) ( 5 1 ) 0,08 ⋅ A +---⋅ A + 0,08 ⋅---A + --A + ⋅⋅⋅ + 0,08 ⋅---A + --A = 7 12 12 12 12 12 ( ) -1- 11- 10- -5- 8 ⋅12 A + 0, 08A ⋅ 1 + 12 + 12 + ⋅⋅⋅ + 12 = 7 2A + 0, 08A ⋅ 17 = 7 3 3 A = 6,25

Тогда за последние 4 года он отдал банку

( ) ( ) ( ) ( ) -4- -1- 3-- 1-- -2- -1- -1- -1- 0,08 ⋅12 A + 12 A + 0, 08 ⋅ 12A + 12A + 0,08 ⋅12 A + 12 A + 0,08 ⋅12A + 12 A = ( ) 4 ⋅ 1-A + 0,08A ⋅ -4-+ 3--+ -2-+ 1-- = 2A = 2-⋅ 6,25 = 2,5 12 12 12 12 12 5 5

Следовательно, за последние 4 года от отдал банку $2, 5$ млн. рублей.