Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: дифференцированный платеж» №18

Просмотров 7 Комментарии 0

В феврале 2015 года Аркадий Петрович взял кредит в банке под 13% годовых. Выплатить кредит он должен восемью платежами, вносимыми на счет раз в год после начисления процентов на оставшуюся сумму долга. Долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно.

Сколько рублей составит переплата по кредиту, если наибольший платеж на 91000 рублей больше наименьшего платежа?

Фраза «долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть Аркадий Петрович взял в банке $A$ рублей. Так как кредит должен быть выплачен восемью платежами, то он взят на 8 лет. Составим таблицу.

|----|---------------|---------------|----------| |Год | Д олг после | С умма |Д олг после |----|-начисления %--|----платеж-а----|-платежа--| |1 | A + 0,13⋅A | 0,13⋅A + 18 ⋅A | 78 ⋅A | |----|7----------7---|-----7-----1---|---6------| |2---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |3 |6⋅A + 0,13⋅ 6⋅A |0,13⋅ 6⋅A + 1⋅A| 5 ⋅A | |----|85----------85---|-----85-----81---|---84------| |4---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |5 |4⋅A + 0,13⋅ 4⋅A |0,13⋅ 4⋅A + 1⋅A| 3 ⋅A | |----|83----------83---|-----83-----81---|---82------| |6---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |7 |2⋅A + 0,13⋅ 2⋅A |0,13⋅ 2⋅A + 1⋅A| 1 ⋅A | |----|8----------8---|-----8-----8---|---8------| -8----18 ⋅A-+-0,13⋅-18 ⋅A-0,13⋅ 18 ⋅A-+-18 ⋅A--0------

Заметим, что все платежи состоят из двух частей. Вторая часть одинакова для всех платежей и равна $1 8 ⋅A$ рублей. Первая часть меняется, причем в первом платеже первая часть — наибольшая, а в последнем — наименьшая. Значит, первый платеж — наибольший, а последний — наименьший. Таким образом, получаем следующее уравнение:

( ) ( ) 0,13 ⋅A+ 1 ⋅A − 0,13 ⋅ 1⋅A + 1⋅A = 91000 8 8 8 ( 1) 0,13⋅A 1− 8 = 91000 ⇔ A = 800000

Тогда переплата по кредиту равна сумме всех платежей за вычетом суммы кредита:

( 7 6 5 4 3 2 1) R =0,13⋅A ⋅ 1+ 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 468000