Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: аннуитетный платеж» №9

Андрей Викторович хочет взять кредит на покупку квартиры. Он выбирает между двумя вариантами:

$∙$ взять кредит на всю сумму в банке А под $25%$ годовых на 3 года;
$∙$ взять $75%$ от стоимости квартиры в банке Б под $30%$ годовых на 3 года и оставшиеся $25%$ от стоимости квартиры в банке В под целое число $y%$ годовых на год.

Какой наибольший процент $y$ годовых должен предложить ему банк В, чтобы второй вариант был выгодней? Погашение кредита во всех трех банках происходит раз в год равными платежами.

Пусть $S$ — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.

Пусть $a,b,c$ — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.

|-------------|---------------------------|-------------------------------| |Н-ом-ер-года-|Д-олг-после-нач-ислени-я-%-|-----Д-олг-после-пл-атеж-а-----| Банк А: |1------------|----------1,25S------------|-----------1,25S-−-a-----------| |2------------|-----1,25-(1,25S-−-a)------|------1,25(1,25S-−-a-) −-a-----| |3 |1,25 (1, 25(1,25S − a ) − a)|1, 25(1,25(1,25S − a) − a ) − a ---------------------------------------------------------------------------

Таким образом, имеем следующее уравнение:

3 2 1, 25(1,25(1,25S − a) − a ) − a = 0 ⇔ 1,25 S = a (1, 25 + 1, 25 + 1)

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж $a$ от стоимости квартиры $S$ , равна

3 -a ------1,25------- S = 1,252 + 1, 25 + 1

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры, равна

3a 375 --- = ---- S 244

2) Пусть $S1 = 0,75S$ – сумма кредита в банке Б.

|-------------|---------------------------|----------------------------| |Н омер года |Дол г п осле начи сления % | Д олг после пл атеж а | |-------------|---------------------------|----------------------------| Б анк Б: |1------------|----------1,3S1------------|---------1,3S1-−-b----------| |2------------|------1,3(1,3S1-−-b)-------|----1,-3(1,3S1-−-b) −-b-----| -3--------------1,3-(1,-3(1,3S1-−-b) −-b)---1,3(1,3(1,3S1-−--b) −-b)-−-b|

Таким образом, имеем следующее уравнение:

1, 3(1,3(1,3S1 − b) − b) − b = 0 ⇔ 1,33S1 = b(1,32 + 1,3 + 1)

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж $b$ от кредита $S1$ , равна

-b- -----1,33------ -133- S1 = 1,32 + 1,3 + 1 = 3990

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита, равна

3 3 3b-= 3-⋅ 13 = -13-- S1 3990 1330

Т.к. $S1 = 0,75S$ , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от $стои мости к варти ры S$ , равна

3b 3 ⋅ 133 ---= -------- S 4 ⋅ 1330

3) Пусть $S2 = 0,25S$ – сумма кредита в банке В. Пусть также $100+y- 100 = t$ — коэффициент, на который умножается долг после начисления процентов.

|------------|----------------------------|----------------------| |Н-омер-года-|-Дол-г п-осле-начисл-ения-%-|Д-олг-после-пл-атеж-а-| Б анк В: |1 | tS2 | tS2 − c | ------------------------------------------------------------------

Таким образом, имеем следующее уравнение:

tS2 − c = 0

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж $c$ от кредита $S2$ , равна

-c- S2 = t

Т.к. $S2 = 0,25S$ , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от $стои мости к варти ры S$ , равна

c- t- S = 4

4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть выполнено:

t- -3 ⋅-133 375- 96699- 4 + 4 ⋅ 1330 < 244 ⇔ t < 81130

Т.к. $t = y+100 100$ , то

155690- 1543- y < 8113 = 198113

Следовательно, наибольшее целое $y$ равно $19$ .