Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: аннуитетный платеж» №7

Просмотров 8 Комментарии 0

Для покупки квартиры в элитном здании Артур скопил всего $5280000$ рублей, поэтому недостающую сумму он был вынужден взять в кредит на 4 года под $12,5%$ годовых. Выплачивать кредит он должен аннуитетными платежами. Сколько процентов от стоимости квартиры ему не хватало, если известно, что переплатил по кредиту он $6524000$ рублей?

Пусть Артур взял в кредит $A$ тыс.рублей и $x$ тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу, заметив, что $1,125 = 98$ :

-------------------------------------------------------------------------------- |Н омер год а | Д олг после на числени я % | Д олг после пл атеж а | |-------------|-------------9----------------|-------------9--------------------| |1------------|--------(--)28A---------------|---------(-)28A-−--x--------------| |2------------|----------98--A-−--98x----------|----------98--A-−--98x-−-x----------| |3 | (9)3 A − (9-)2x − 9x | (9)3 A − (9-)2x − 9x − x | |-------------|(9)4-8---(9)3--8--(9)28----9--|(9)4-8---(9)3--8--(9)28----9------| -4--------------8--A--−--8---x −--8--x-−--8x---8--A--−--8---x −--8--x-−--8x −-x-|

Таким образом, имеем следующее уравнение

( ) ( 9 )4 ( 9)3 ( 9 )2 9 ( 9)4 ( 9)3 ( 9)2 9 -- A − -- x − -- x − -x − x = 0 ⇔ -- A = x -- + -- + -+ 1 8 8 8 8 8 8 8 8

Т.к. всего банку он заплатил $4x$ рублей, то переплата равна $4x − A = 6524$ , откуда $1 x = 4 (A + 6524 )$ . Подставим это в уравнение:

( ) ( 9)4 1 ( 9)3 ( 9)2 9 -- A = --(A + 6524 ) -- + -- + --+ 1 8 4 8 8 8

откуда выражаем, что

( ) 94- 2 ⋅ 6524 ⋅ 84 − 1 2 ⋅ 6524 ⋅ (94 − 84) A = -----------4-------= -------4----4----- 2 − 9-- 2 ⋅ 8 − 9 84

Найдем $94 − 84$ :

$94 − 84 = (9 − 8)(9 + 8)(92 + 82) = 17 ⋅ 145$ .

Тогда, учитывая известное $10 2 = 1024$ , имеем: $4 4 4 4 4 12 2 ⋅ 8 − 9 = 8 − (9 − 8 ) = 2 − 17 ⋅ 145 = 4096 − 2465 = 1631$ .

Значит,

2 ⋅ 1631 ⋅ 4 ⋅ 2465 A = -----------------= 19720 тыс.руб лей 1631

Значит, вся квартира стоила $19720 + 5280 = 25000$ тыс.рублей. Тогда процент денег, которых ему не хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет

19720 1972 ⋅ 4 7888 ------⋅ 100% = --------⋅ 100% = -----% = 78,88% 25000 2500 ⋅ 4 100