Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: аннуитетный платеж» №6

Просмотров 8 Комментарии 0

Кредит выдан на 3 года под целое кратное десяти число $y$ процентов годовых. Известно, что погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными платежами. Под какой процент $y$ взят кредит, если известно, что ежегодный платеж относится к сумме кредита как $27 : 38$ ?

Пусть $A$ и $x$ — суммы кредита и ежегодного платежа соответственно, а $100+y t = -100-$ . Составим таблицу:

------------------------------------------------------------------ |Н ом ер года |Д олг посл е н ачислен ия % |До лг после плат ежа | |-------------|----------------------------|---------------------| |1------------|------------tA--------------|-------tA-−-x--------| |2------------|---------t(tA--−-x)----------|----t(tA-−-x-) −-x----| -3-------------------t(t(tA-−-x-) −-x)-------t(t(tA--−-x)-−-x) −-x--

Таким образом,

x t3 27 t(t(tA − x ) − x ) − x = 0 ⇔ -- = ----------= --- A t2 + t + 1 38

Откуда получается уравнение $3 2 38t − 27t − 27t − 27 = 0$ .

Известно, что $y$ — целое кратное десяти число, то есть $10; 20; 30; ...$ .

Тогда $t = 1,1; 1,2; 1,3;...$ или в рациональном виде

11 6 13 7 3 8 17 9 19 t = --; --; --; -; --; -; --; --; ---и т.д. 10 5 10 5 2 5 10 5 10

Если уравнение имеет рациональный корень, то числитель этого корня является делителем свободного члена, то есть $− 27$ , а знаменатель — делителем старшего коэффициента, то есть $38$ . Таким образом, первый подходящий корень из нашего списка — это $32$ . Проверим:

( )3 ( ( )2 ) 38 ⋅ 3- − 27 3- + 3-+ 1 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 2

Таким образом, $t = 3- 2$ и $y = 50%$ .