Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: аннуитетный платеж» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

Фермер взял кредит в банке на $2$ года под $y%$ годовых, причем выплачивать кредит он должен равными ежегодными платежами. Под какое наибольшее целое число $y$ процентов годовых он должен был взять кредит, чтобы его переплата по кредиту в конце второго года не превысила ежегодный платеж?

Введем обозначение: $100 + y --------= t,A 100$ – сумма кредита, $x$ – ежегодный платеж. Составим таблицу:

|-----|-------------------------------|-----------------------------------------------| |Год |сумм а долга до нач ислени я % |су мм а д олга после на числени я % и |1----|--------------A----------------|-------------------t ⋅-A-−-x-------------------| -2----------------t ⋅ A-−-x---------------------------t ⋅ (t-⋅ A-−-x)-−-x-------------|

Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то $t ⋅ (t ⋅ A − x) − x = 0 (∗)$ .

Заметим, что за два года он заплатил банку $2x$ рублей, значит, его переплата по кредиту составила $2x − A$ рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее неравенство:
$2x − A ≤ x ⇒ x − A ≤ 0$ .
Выразим из $(∗)$ ежегодный платеж: $2 x = -tA-- t + 1$ и подставим в неравенство:

$2 2 A ⋅ t-−-t-−-1-≤ 0 ⇒ t-−--t −-1-≤ 0 t + 1 t + 1$ , т.к. $A > 0 » class=»math» width=»auto»>.<br class=$
Решив данное неравенство методом интервалов, получим: $1 + √5-- 0 ≤ t ≤ ------- 2$ (т.к. $t$ не может быть отрицательным).

Сделав обратную замену $100-+-y-= t 100$ , получим: $√ -- y ≤ 50 ⋅ ( 5 − 1)$ .

Для того, чтобы найти наибольшее целое $y$ , необходимо оценить $√ -- 50 ⋅ ( 5 − 1)$ .

$√ ------ √ -- √ -- √ -- 223 < 50000 < 224 ⇒ 223 < 100 5 < 224 ⇒ 2,23 < 5 < 2,24 ⇒ 61,5 < 50 ⋅ ( 5 − 1) < 62$ .
Таким образом, наибольшее целое $y = 61$ .