Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: аннуитетный платеж» №4

Определите, где выгоднее взять кредит: в банке А на 4 года под $12, 5%$ годовых или в банке Б на 2 года под $2847%$ годовых, если в обоих банках погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными ежегодными платежами.
Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата по выгодному кредиту? Результат округлите до целого числа.

а) Пусть необходимо взять кредит на сумму $A$ рублей.

1) Составим таблицу для банка А, приняв за $x$ ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после начисления процентов долг будет составлять $112,5%$ от предыдущего долга, то есть будет увеличиваться в $1,125$ раз. Также заметим, что $9 1,125 = 8$ .

|------------|----------------------------|---------------------------------| |Ном-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|------До-лг-после-плат-ежа-------| |1 | 9A | 9A − x | |2-----------|--------9-(98A-−--x)---------|--------9(9A-8−-x)-−-x-=---------| | | 8 8 | (89 8)2 9 | |------------|------(--(-------)----)-----|-----(--(8--A-−-)x(8-+)-1)--------| |3 | 98 98 98A − x − x | 98 98 98A − x( − x − x = ) | | | | (9-)3 (9)2 9 | |------------|----------------------------|--=---8--A-−(--x---8--+--8 +-1--)-| |4 | 9(9 (9(9-A − x) − x ) − x )|(9)4A − x (9)3 + (9)2 + 9 + 1 | ---------------8-8--8--8--------------------8-----------8------8-----8-------

В конце 4-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что

( ) ( 9 )4 ( 9 )3 ( 9)2 9 -- A − x -- + -- + --+ 1 = 0, 8 8 8 8

откуда

( ) x 9 4 --= (9)3---(98)2---9----- A 8 + 8 + 8 + 1

Знаменатель представляет собой сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, где $a1 = 1$ , а $q = 9 8$ . Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

(9)4 (9 ) 4 x-= -8(-)-8-−-1- = ----9----- A 9 4 − 1 8 (94 − 84) 8

Тогда величина $4x- A$ показывает, какую часть составляет общая сумма выплат $4x$ по кредиту от самого кредита $A$ :

4x 4 ⋅ 94 ---= ---4----4- A 8(9 − 8 )

2) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть $y$ – ежегодный платеж), заметив, что $4 900 100 + 28 7% = -7-%$ , а $900 9 0,01 ⋅-7- = 7$ :

|-------------|----------------------------|---------------------| |Н-ом-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|До-лг-после-плат-ежа-| |1------------|------------97A--------------|-------97A-−-y--------| |2 | 9 (9A − y) | (9)2A − y(9+ 1) | -----------------------7--7--------------------7---------7--------

Поступая аналогично первому пункту, найдем

2 2y- = --2-⋅ 9--- A 7 ⋅ (9 + 7)

Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:

4 ⋅ 94 2 ⋅ 92 ---------- и ------ 8(94 − 84) 7 ⋅ 16

Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:

4 2 ---------4 ⋅-9---------- ∨ 2-⋅ 9- 8(9 − 8 )(9 + 8)(92 + 82) 7 ⋅ 16 4 ⋅ 92 1 -------- ∨ -- 17 ⋅ 145 7 4 ⋅ 81 ⋅ 7 ∨ 17 ⋅ 145 (4 ⋅ 7) ⋅ 81 ∨ (17 ⋅ 5) ⋅ 29

Заметим, что $4 ⋅ 7 = 28 < 29, 81 < 17 ⋅ 5 = 85$ . Значит, правая дробь больше левой. Таким образом, кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.

б) Переплата по выгодному кредиту равна $4x − A$ . Значит, необходимо найти

4x − A ( 4x ) ( 4 ⋅ 94 ) 1631 -------⋅ 100% = --- − 1 ⋅ 100% = ----4---4- − 1 ⋅ 100% = -----⋅ 100% = 33,0...% A A 8 (9 − 8 ) 4930

После округления до целого числа получим $33%$ .