Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: аннуитетный платеж» №15

Просмотров 8 Комментарии 0

Леонид брал кредит в банке сроком на 6 лет под $50%$ годовых. После того, как кредит был выплачен, оказалось, что переплата по кредиту составила $3044000$ рублей. Сколько тысяч рублей каждый год вносил Леонид в счет погашения кредита, если известно, что кредит был выплачен аннуитетными платежами?

Пусть ежегодный платеж был равен $x$ тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку $6x$ тыс. рублей. Следовательно, если $A$ тыс. рублей — сумма кредита, то $6x − A = 3044$ тыс. рублей — и есть переплата по кредиту. Составим таблицу:

|-------------|---------------------------------------------|-----------------------------------------------| |Н-омер-год-а-|---------Дол-г п-осле-начи-сления-%----------|-------------Д-олг-после-пла-теж-а-------------| |1------------|-------------------1,-5A---------------------|-------------------1,5A-−-x--------------------| |2------------|---------------1,5(1,5A-−--x)----------------|---1,5-(1,-5A-−-x)-−-x-=-1,52A--−-x(1,5-+-1)----| |... | ... | ... | |-------------|----------4----------3------2----------------|-------5---------4------3------2---------------| |5------------|---1,5(15,5-A--−-x(14,5--+-13,5--+-12,5-+-1))----|---16,-5-A-−-x(15,5--+-14,5--+-13,5--+-12,5-+-1)----| -6-------------1,5(1,5-A-−-x-(1,-5-+-1,-5-+-1,5--+-1,5-+-1))--1,5-A-−--x(1,5-+--1,5-+--1,5-+--1,5-+-1,-5 +-1-)

Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то

5 4 3 2 1,56A − x(1,55 + 1,54 + 1,53 + 1,52 + 1,5 + 1) = 0 ⇔ A = 1,5-+--1,5-+-1,-5-+-1,5--+-1,5-+-1-x 1,56

Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где $a1 = 1, q = 1,5$ .

Эта сумма равна $6 1,5-−--1- 1,5 − 1$ . Значит,

---1,56 −-1--- A = 1,56(1,5 − 1)x

Заметим, что $1,5 = 3 2$ , следовательно,

6 6 2 2 2 2 A = 2(3--−-2-)x = 2(3 −-2)(3 +-2-)(3-−-3-⋅ 2 +-2-)(3-+-3-⋅ 2-+-2-)x = 2 ⋅ 5-⋅ 7-⋅ 19x 36(3 − 2) 36 36

Тогда, т.к. переплата $3044 = 6x − A$ , имеем следующее равенство, из которого можно найти $x$ :

( ) 6 − 2 ⋅-5 ⋅ 7-⋅ 19 x = 3044 ⇔ 1522x = 1522 ⇔ x = 729 тыс. рубл ей 36 729