Задача к ЕГЭ на тему «Банковский кредит: аннуитетный платеж» №14

Просмотров 9 Комментарии 0

Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под $12,5%$ годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила $65240$ рублей.

Составим таблицу, обозначив за $A$ руб. сумму кредита, а за $x$ руб. ежегодный платеж.

----------------------------------------------------------------------------------------------- |Год | Д олг в ру б. | Дол г в р уб. | Д олг в руб. | | | | | | | | до нач ислени я | после начи сления | п осле внесения | |----|------пр-оцентов--------|--------п-роцент-ов---------|-------------платеж-а-------------| |1---|----------A-------------|----------1,125A------------|-----------1,125A--−-x------------| |2 | 1,125A − x | 1,125 (1,125A − x) | 1,125(1,125A − x) − x | |3---|1,125-(1,-125A-−-x-) −-x-|---1,125(1,125-(1,-125A-−----|------1,125-(1,125(1,125A-−-------| | | | | | |----|------------------------|---------−-x)-−-x)----------|-----------− x-) −-x)-−-x---------| |4 | 1,125(1,125(1,125A − |1,125(1,125(1,125 (1,125A − | 1,125(1,125(1,125 (1,125A − x)− | | | − x) − x) − x | − x ) − x ) − x ) | − x ) − x) − x | -----------------------------------------------------------------------------------------------

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

1, 125(1,125(1,125 (1, 125A − x ) − x ) − x ) − x = 0

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

1,1254A − x(1,1253 + 1,1252 + 1,125 + 1) = 0 (∗)

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку $4x$ рублей, а, значит, его переплата составила $4x − A$ рублей. Т.к. $4x − A = 65240$ , то $A = 4x − 65240$ . Значит:

1,1254(4x − 65240 ) − x (1,1253 + 1,1252 + 1,125 + 1) = 0

Заметим также, что $9- 1,125 = 8 ⇒$

--------94 ⋅ 23-⋅ 5-⋅ 7 ⋅-233---- x = 94 ⋅ 4 − 8(93 + 92 ⋅ 8 + 9 ⋅ 82 + 83) = 65610

Значит, ежегодный платеж составил $65610$ рублей.